Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Матрицы. Основные понятия

Матрицей размерности (m*n) называется совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов.

Действия над матрицами и их свойства

Вычисление определителей второго и третьего порядка. Свойства определителей.

Минор некоторого элемента определителя. Алгебраическое дополнение некоторого элемента определителя. Вычисление определителей высоких порядков.

Любой определитель n-го порядка можно вычислить на основании следующей теоремы.

Теорема 1. Определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца)

на их алгебраические дополнения.

Замечание1: Вычисление определителя по данной теореме называют разложением определителя по

элементам строки или столбца (далее-ряда).

Метод понижения порядка определителя:

Этот метод также основан на элементарных преобразованиях определителя.

1. При помощи элементарного преобразования III типа нужно в одном столбце (или одной строке) сделать равными нулю все элементы, за исключением одного.

2. Разложить определитель по этому столбцу (строке) и получить определитель меньшего порядка, чем исходный. Если его порядок больше 1, то следует перейти к п. 1, иначе вычисления закончить.

Обратная матрица. Алгоритм вычисления обратной матрицы.

Ранг матрицы. Свойства ранга матрицы. Метода окаймления миноров и метод элементарных преобразований нахождения ранга матрицы.

Системы линейных уравнений. Основные понятия.

Системой линейных уравнений называют конечную совокупность линейных уравнений относительно неизвестных .

где числа ( и ) называются коэффициентами, числа _i – свободными членами системы линейных уравнений.

Решением системы уравнений называют такой упорядоченный набор чисел , который является решением каждого уравнения системы.

Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или убедиться в том, что их нет.

Совместной называется система уравнений, которая имеет хотя бы одно решение.

. Система уравнений является либо несовместной (не имеет ни одного решения), либо определенной (имеет единственное решение), либо неопределенной (имеет бесконечное множество решений). В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Две системы линейных уравнений называют равносильными (эквивалентными), если они имеют одни и те же решения.

Решение системы уравнений методом обртной матрицы и методом Крамера.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.