Скалярное произведение векторов и его свойства

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е. .

Из определения следует где – угол между векторами .

Скалярная величина называется проекцией вектора на вектор . В зависимости от значения угла между векторами, проекция может принимать отрицательные, положительные или нулевое значения.

Теперь можно написать

Из определения скалярного произведения следует, что если векторы ортогональны, то (условие ортогональности ненулевых векторов).

Свойства скалярного произведения:

1. -скалярный квадрат.

2. .

3. .

4. ).

Скалярное произведение векторов, заданных своими проекциями в декартовой системе координат

Пусть два вектора и заданы своими разложениями по ортам в декартовой системе координат, тогда скалярное произведение

Векторное произведение векторов и его свойства.

Определение. Упорядоченная тройка векторов , , называется правой, если наблюдателю, находящемуся на конце вектора , кратчайший поворот от к кажется происходящим против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов левая.

Тройки компланарных векторов не относятся ни к правым, ни к левым.

Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется третий вектор определяемый следующим образом:

1) длина его равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е. , где – угол между векторами и ; 2) вектор перпендикулярен векторам и ; 3) векторы , , после приведения к общему началу образуют правую тройку векторов. Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и . Свойства векторного произведения 1. . 2. , если или , , или условие коллинеарности векторов. 3. .

4. .

Найдем векторное произведение векторов, заданных своими проекциями в декартовой системе координат.

Пусть два вектора и заданы своими разложениями по ортам в декартовой системе координат.

Воспользуемся таблицей векторного произведения векторов

тогда векторное произведение векторов и можно записать в виде

) )

…

Линии на плоскости. Основные понятия.

Определение. Линия на плоскости – множество точек плоскости, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством.

Определение. Уравнением линии на плоскости называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Определение. Уравнением линии в полярной системе координат называется уравнение , если координаты любой точки, лежащей на этой линии, и только они, удовлетворяют этому уравнению.

Линию на плоскости можно задать параметрическими уравнениями где и – непрерывны по параметру . Чтобы перейти от параметрических уравнений к уравнению вида надо из двух уравнений исключить параметр .

Пример. Какая линия определяется параметрическими уравнениями ?

Решение. Исключая параметр , приходим к уравнению . В силу параметрических уравнений , . Следовательно, данные параметрические уравнения определяют луч – биссектрису I-го координатного угла.

Линию на плоскости можно задать векторным уравнением , где – скалярный переменный параметр. Этому уравнению в системе координат соответствуют два скалярных уравнения .

Векторное уравнение и параметрические уравнения линии имеют механический смысл: при перемещении точки на плоскости указанные уравнения называются уравнениями движения, а линия – траекторией точки, параметр при этом есть время.