Логарифмическая функция

(3.9)

 

Из (3.9) видно, что логарифмическая функция – функция многозначная, ее значения для данного значения z отличаются друг от друга на число . Значение логарифма, соответствующее , называется главным и обозначается

 

(3.10)

 

Логарифмическая функция комплексного переменного обладает известными свойствами логарифма действительного переменного.

 

6. Обобщенные степенная и показательная функции

, (3.11)

 

где a – любое комплексное число;

 

, (3.12)

 

где .

В силу многозначности логарифма, выражение, определяемое равенством (3.12), многозначно. Его главным значением называется то, которое получается при подстановке в правую часть (3.12) вместо Ln a.

 

УПРАЖНЕНИЯ

41. Выделить действительную и мнимую части функции .

Решение. Пусть . Тогда по определению показательной функции (3.2) имеем , откуда , .

 

42. Найти значение функции в точке , иначе говоря, найти образ точки при отображении .

Решение. Используя формулы привидения и (3.8), находим

, .

Этот пример показывает, что функция в комплексной области может принимать значения, больше единицы по модулю.

 

43. Найти корни уравнения и изобразить их на плоскости.

Решение. По определению функции , из (3.4) имеем

, откуда . Полученное квадратное уравнение относительно имеет корни . Следовательно, в силу определения логарифмической функции (3.9) с учетом (3.10) получаем

, . Отсюда определяем : , .

 

Итак, получены две серии корней

 

, , ( ). Учитывая, что , вторая серия корней перепишется в виде .

Рис.3.2

Таким образом, корнями данного уравнения являются точки, расположенные на прямых, параллельных действительной оси и отстоящих от нее на расстоянии (рис. 3.2).

При изображении чисел учтено, что .

 

44. При отображении найти:

а) образ прямой линии ;

б) образы прямоугольной сетки, т.е. прямых, параллельных осям координат: , ;

в) образ линии , ;

г) образ области , , ;

д) образ области внутренность треугольника с вершинами в точках 0; 1; .

Решение. а) Линия прямая, заданная уравнением в действительных переменных, от которого можно перейти к параметрическим уравнениям , .

Полагая , определим действительную и мнимую части функции : , .

Для того, чтобы найти уравнение образа данной прямой , исключим из уравнений , в результате чего получим параметрические уравнения : . Если из полученных уравнений исключить параметр , то придем к уравнению образа в плоскости в действительных переменных и : . Как видно, искомый образ есть парабола (рис. 3.3);

Рис.3.3

б) Чтобы найти образы семейства прямых , подставим вместо его значение в действительную и мнимую части функции : , . Исключив отсюда , получим семейство парабол, симметричных относительно оси , вершины которых находятся на положительной части этой оси, а ветви направлены в сторону отрицательной части оси (рис. 3.4). В частности, при и соответственно имеем и .

Мнимая ось плоскости отобразится в линию .

Второе из равенств указывает, что образ прямой на оси , а из первого равенства следует, что может принимать лишь отрицательные значения. Следовательно, мнимая ось плоскости отображается на отрицательную часть действительной оси плоскости : . Семейство прямых отображается в семействе кривых или .

Рис.3.4

Получим семейство парабол симметричных относительно оси . Вершины находятся на отрицательной части , направление ветвей совпадает с положительным направлением оси (рис.3.4). В частности, при имеем .

При получаем . Это значит, что действительная ось плоскости отображается в положительную часть действительной оси плоскости : .

 

Итак, сетка прямых линий, отразится в «сетку» параболических кривых в плоскости .

Рис.3.5

 

в) Линия полуокружность верхней полуплоскости с центром в начале координат и радиусом . Уравнение кривой запишем в комплексно–параметрической форме , где .

Тогда , откуда следует, что . Значит, при отображении точки, лежащие на полуокружности плоскости z, перейдут в точки, лежащие на окружности плоскости (рис.3.5).

г) Для отыскания образа области можно найти образ ее границы (если область замкнутая или ограниченная), а затем выяснить расположение искомой области относительно ее границы. Ели произвольная точка переходит в точку , лежащую внутри контура , то область есть ограниченная область – множество точек плоскости , лежащих внутри контура. Если точка переходит в точку , лежащую вне контура, то область есть область неограниченная, расположенная вне линии . По условию область плоскости есть четверть круга в первой четверти координатной плоскости (рис.3.6).

Рис.3.6

Как было показано в предыдущих пунктах б) и в) задачи, мнимая ось переходит в отрицательную полуось , действительная ось – в положительную полуось , а дуга окружности плоскости z переходит в полуокружность верхней полуплоскости .

На основании этого можно заключить, что образом контура плоскости является контур плоскости (рис.3.6). Чтобы убедиться в этом, четверть круга отображается в верхний полукруг: , покажем, что произвольная точка области переходит в точку полукруга . Например, при , т.е. .

д) область изображена на рис 3.7,а. Найдем последовательно образы участков границы области , при условии, что , .

a)

б)

Рис.3.7

Отрезок , уравнение которого , причем , имеет своим образом линию: . Легко установить, что это есть часть параболы , т.к. (рис.3.7, б).

Отрезок , уравнение которого , где , имеет своим образом линию: , откуда имеем , причем , (рис.3.7, б).

Отрезок : , отображается в отрезок оси , так как и (рис.3.7, б).

Чтобы показать, откуда переходит внутренность треугольника , возьмем точку .

Найдем соответствующие значения . Таким образом, отображением прямолинейного треугольника плоскости , осуществляемого функцией , является криволинейный треугольник плоскости , представленный на рис.3.7, б.

 

45. Отобразить с помощью функции декартову координатную сетку.

Решение. Введем на плоскости декартовы, а на плоскости полярные координаты, т.е. положим . По определению показательной функции имеем (по формуле Эйлера) . Следовательно,

. (3.13)

Найдем образы координатных линий . Из равенства (3.13) имеем

. (3.14)

Когда точка пробегает прямую , ее образ, как следует из системы (3.14), пробегает окружность, причем бесконечно много раз. В силу периодичности показательной функции рассмотрим изменение ее аргумента в промежутке , что соответствует изменению в том же интервале. Тогда образами отрезков , являются окружности радиуса с центром в начале координат, пробегаемые один раз (рис.3.8).

Рис.3.8

Найдем теперь образы координатных прямых , и пусть . В силу равенства (3.13) имеем

. (3.15)

Из системы (3.15) следует: когда точка пробегает прямую , точка пробегает луч , исходящий из начала координат (рис.3.8).

Итак, функция отображает прямые, параллельные мнимой оси , в окружности с центром в начале координат, а прямые, параллельные действительной оси , в лучи, выходящие из начала координат, иначе говоря, декартова прямоугольная сетка отображается в полярную координатную сетку. При этом заштрихованный прямоугольник , ( ) плоскости отображается в заштрихованную часть кольца плоскости (рис. 3.8).

46. Показать, что не существует.

Решение. Пусть точка стремится к нулевой точке по оси .

Тогда и . Пусть теперь по оси .

Тогда , и . Таким образом, пределы по двум направлениям различны, и, следовательно, не существует.

 

47. Вычислить .

Решение. .

.