Упражнения для самостоятельной работы

9. Выполнить основные четыре действия алгебры над комплексными числами и .

10. Найти действительные решения уравнения

.

11. Найти середину отрезка, соединяющего точки и .

12. Три последовательные вершины параллелограмма находятся в точках , , . Найти четвертую вершину.

13. Показать, что , .

14. Изобразить на комплексной плоскости числа , . Найти их модули и аргументы.

15. Изобразить на комплексной плоскости числа

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е)

и вычислить их модули и главные значения аргумента.

16. Представить в показательной форме числа

; ; ; .

17. Найти модуль и аргумент числа , если .

18. Вычислить .

19. Решить уравнение .

2. МНОЖЕСТВА ТОЧЕК, ЛИНИИ, ОБЛАСТИ

НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ

Линии и области на комплексной плоскости мы рассматриваем как множество точек, обладающих определенными свойствами и удовлетворяющих определенным уравнениям или системе уравнений, неравенствам или системе неравенств.

Параметрические уравнения кривой в действительных переменных

в комплексной плоскости могут быть заменены одним уравнением

, (2.1)

которое называется параметрическим или уравнением кривой в комплексной форме.

Если кривая задана в неявном виде , то путем подстановки в это уравнение выражений

(2.2)

получим уравнение кривой в комплексной форме .

При решении задач по определению и изображению линии и областей в комплексной плоскости следует помнить геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел (см. упражнение 2). Рассматривая как расстояние между двумя точками и плоскости, достаточно легко задавать аналитически линии и области.

УПРАЖНЕНИЯ

20. Написать в комплексной форме уравнение кривой :

.

Решение. 1-й способ. Согласно (2.1) имеем параметрическое уравнение кривой .

2-й способ. Легко видеть, что данная кривая – парабола . Перейдем в этом уравнении к комплексному переменному, воспользовавшись формулами (2.2), , откуда получаем .

21. Написать уравнение окружности в комплексной форме.

Решение. 1-й способ. Рассмотрим окружность как множество точек , равноудаленных на расстояние от центра . Тогда имеем .

2-й способ. Как известно, параметрические уравнения окружности радиуса с центром в точке имеют вид

где .

Следовательно, . Если воспользоваться показательной формой комплексного числа, то полученное уравнение можно записать в виде .

22. Написать уравнение эллипса с фокусами в точках и , большая ось которого равна .

Рис.2.1

Решение. По определению эллипса . Здесь и расстояния произ-вольной точки эллипса до фокусов и соответственно (рис.2.1). Следовательно, уравнение эллипса в комплексной форме имеет вид .

Расстояние между фокусами: , а малая полуось по известным и определяется из формулы .

23. Выяснить геометрический смысл уравнения .

Рис.2.2

Решение. 1-й способ геометрический. В данном случае множество точек, равноудаленных от точек и . Очевидно, это есть прямая , перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину (рис.2.2).

2-й способ аналитический. Пусть , тогда

.

Поскольку левые части последних соотношений равны, то равны и их правые части, т.е. . После упрощения получаем уравнение прямой линии.

24. Какая кривая определяется уравнением ?

Решение. Из области определения функции исключается точка , пусть . Тогда . Следовательно, . По условию или , откуда следует, что данное условие определяет окружность , .

25. Определить, какое множество точек удовлетворяет условию .

Рис.2.3

Решение. Так как по определению , то данное неравенство может быть записано в виде . Следовательно, искомое множество точек – полоса между прямыми и , включая эти прямые (рис. 2.3).

26. Построить на комплексной плоскости области, заданные условиями:

а) ; б) , .

Решение. а) Искомое множество точек удовлетворяет двум неравенствам: и . Первое условие определяет точку эллипса с фокусами и , для которого , , (уравнение эллипса в действительных переменных: ). Второе уравнение – внутренность эллипса с фокусами в тех же точках с полуосями и (уравнение эллипса в действительных переменных ).

Рис.2.4

Искомое множество точек – часть плоскости, заключенная между двумя эллипсами (рис. 2.4), включая сами эллипсы.

б) Легко видеть, что множество точек, удовлетворяющих условию , есть внутренность кольца, ограниченного окружностями и с центрами в начале координат и радиусами 1 и 2. Система неравенств определяет множество точек, составляющих угол между лучами и , причем точки первого луча принадлежат области, а второго – нет.

Пересечение указанных множеств определяет искомую область , которая изображена на рис. 2.5.

27. Какое множество точек комплексной плоскости определяется условием ?

Решение. Пусть . Тогда и . Следовательно, . По условию или . Полученное неравенство определяет множество точек, изображенных на рис. 2.6.

Рис.2.5

Рис.2.6