Связь непрерывности и дифференцируемости

Мы познакомились с двумя свойствами функции в точке – непрерывность и дифференцируемость. Какое свойство сильнее?

Теорема. Если функция дифференцируема в точке, то она в ней и непрерывна.

Доказательство. Пусть функция в точке дифференцируема, т.е. существует конечное число :

- б.м. при , Если , то , тогда также стремится к нулю, причём

В таком случае говорят, что является бесконечно малой более высокого порядка малости по сравнению с и этот факт обозначается так: читается: . Итак

(1)

Эта формула показывает структуру приращения функции.Отсюда следует, что если , то - бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, а это есть третья формулировка определения непрерывности функции в точке (см. п.8,3,формула (4)). Итак, свойство дифференцируемости сильнее – непрерывность из него следует автоматически (по теореме). А наоборот? Оказывается, что если функция непрерывна в точке, то она не обязательно дифференцируема.

Пример 6. Рассмотрим функцию

Производная этой функции . Она равна =0, т.к. tg = , то касательная вэтой точке перпендикулярна оси ох. Для функции у= в начале координат касательной является ось oу (см.рис.3). Производная в начале координат не существует -функция не дифференцируемая в этой точке, но непрерывна.

1

-1 1

-1

Рис. 3

Дифференциал функции.

Вернёмся к рассуждениям, приводимых при определении производной. Пусть имеется функция . Воспользуемся формулой (1), показывающей структуру приращения функции: Эта формула показывает, что приращение функции состоит из двух частей. Первая часть, , линейна относительно приращения аргумента . Вторая часть, – о – малое от , является бесконечно малой более высокого порядка малости по сравнению с . Отсюда следует, что основной «вес» приращения функции приходится на первое слагаемое. По этой причине оно называется главной частью приращения функции.

Определение. Главная часть приращения функции, линейная относительно приращения аргумента , называется дифференциалом функции и обозначается Итак, по определению

(2)

Пример 7. Тогда

Пример 8. .

Пример 9.

Таким образом, дифференциал независимого аргумента равен его приращению. С учётом этого равенства формула для дифференциала функции принимает «симметричный» вид: или

Отсюда, в частности, следует, что Таким образом, становится понятным введённое ранее для обозначение Также ясно, что нахождение дифференциала функции сводится к нахождению её производной, которую надо формально умножить на .

Обратимся теперь к геометрическому смыслу дифференциала функции в точке

.

A

0

Рис. 4

Возьмём произвольную точку Дадим приращение , получим новую точку и приращение функции

(рис. 4). По определению или

. Исходя из геометрического смысла производной она равна тангенсу угла наклона касательной к кривой в точке т.е. Тогда из следует, что

Из рис. 4 видно, что если, получив приращение , двигаться по кривой, то придём в точку и получим приращение . Если же, получив приращение , двигаться по касательной к кривой в точке , то придём в точку и получим приращение В этом и состоит геометрический смысл: дифференциал функции в точке представляет собой приращение ординаты касательной к кривой в этой точке.