Уравнения касательной и нормали к графику функции

Раздел 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

1. Производная функции, её геометрический и физический смысл

2. Уравнения касательной и нормали к графику функции.

3. Таблица производных.

4. Основные правила дифференцирования.

5. Связь непрерывности и дифференцируемости.

6. Дифференциал функции.

7. Формула приближённых вычислений значений функций с помощью дифференциала.

8. Основные теоремы дифференциального исчисления

9. Формула Тейлора.

10. Исследование функции с помощью первой производной.

11. Исследование функции с помощью второй производной.

12. Пример полного исследования функции.

Производная функции, её геометрический и физический смысл.

 

Рассмотрим функцию , дадим аргументу приращение получим новое значение функции В результате функция получит приращение ( х).

Определение. Производной функции в произвольной точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при

Производная функции в точке обозначается Итак, по определению

Пример 1. Найти производную функции

Решение. По определению

= = =

=

 

Если аргумент интерпретировать как время t движения материальной точки, а путь, пройденный этой точкой изменяется по закону , то отношение означает среднюю скорость точки на временном промежутке Тогда означает мгновенную скорость точки в любой момент времени – в этом состоит физический смысл производной.

Поскольку все процессы в природе находятся в движении, в развитии, а характеристикой всякого движения является скорость, то ясно, какое значение в изучении реальных процессов принадлежит производной функции.

Мы часто пользуемся графиками функций, поэтому рассмотрим геометрический смысл производной.

 

 

В

C

A

Рис. 1

 

 

Рассмотрим график функции (рис.1) Возьмём некоторую точку , вычислим и покажем на рисунке значение производной в точке . Дадим аргументу приращение , получим новое значение аргумента и вычислим новое значение функции Имеем две точки на графике: Проведём секущую , тем самым получится В этом треугольнике

тогда .

При точка , оставаясь на кривой, стремится к точке ; секущая становится в пределе касательной к графику функции в точке Тангенс угла наклона секущей становится тангенсом угла наклона касательной.

Геометрический смысл производной функции в точке - это тангенс угла наклона касательной к графику функции в этой точке к положительному направлению оси (рис.2)

 

A

A

0

 

Рис.2.

Уравнения касательной и нормали к графику функции.

 

Рассмотрим функцию и напишем уравнение касательной к графику этой функции в некоторой точке где ( см.рис.2)

Воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом и опорной точкой: у - =k(x - Исходя из геометрического смысла производной Обозначим это число следовательно, уравнение касательной имеет вид: .

Нормалью к кривой в точке называется прямая, перпендикулярная касательной к кривой в этой точке. Условие перпендикулярности двух прямых состоит в том, что произведение их угловых коэффициентов равно – 1. Получаем окончательный вывод:

- уравнение касательной,

- уравнение нормали к графику функции в точке , где .

Пример 2. Написать уравнения касательной и нормали к графику функции в точке

Решение. Воспользуемся уравнениями касательной и нормали - осталось найти ( (0). Так как (x)= =cosx, то (0)=cos0=1. Получаем: , т.е. биссектриса I-III координатных углов, является касательной графика синуса в начале координат; - уравнение нормали.

Таблица производных.

 

Первым непременным условием освоения техники дифференцирования является знание таблицы производных, т.е. производных всех основных элементарных функций. Приводим доказательства.

 

а) – показательная функция.

Частный случай

 

 

Отметим замечательное свойство показательной функции - она при дифференцировании не меняется. Это свойство является причиной огромного значения этой функции в теоретических исследованиях и практических приложениях.

 

б) - логарифмическая функция.

частный случай

 

в) -степенная функция.

 

 

г)

 

 

Остальные табличные производные доказываются аналогично. Приводим теперь таблицу производных:

 

1) ;

2) ; ) ;

3) ; ;

4)

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) :

11) .