Основные правила дифференцирования

Правило 1. Производная постоянного числа равна нулю.

Это простейшее правило – оно следует и из определения; и из физического смысла – если путь не изменяется, то скорость равна нулю.

Правило 2. Производная суммы функций.

Кратко говорят: «производная суммы равна сумме производных».

Правило 3. Производная произведения функций.

Сначала заметим следующее: если , то Поэтому:

Мы учли, что

Итак, для запоминания короче: (u•v = , - «производная произведения равна производной первого сомножителя, умноженной на неизменный второй плюс наоборот - производная второго сомножителя, умноженная на неизменный первый».

Следствие 1. Если , то

постоянный множитель можно выносить на знак производной,

Следствие 2. Поскольку в формуле сомножители равноправны, то она легко обобщается на случай любого числа сомножителей. Например, для четырёх сомножителей.

Правило 4.Производная дроби (частного двух функций).

или короче для запоминания:

Формула доказывается аналогично.

Правило 5. Производная сложной функции.

Это правило является важнейшим - умение его применять наряду с отличным знанием таблицы производных и обеспечивает технику дифференцирования.

Определение. Пусть дана некоторая функция , где аргумент в свою очередь является функцией аргумента . По этой причине называется промежуточным аргументом. Тогда Функция называется сложной функцией аргумента - сначала вычислим , а затем уже . Получается, что сложная функция есть - «функция от функции».

Например, - простая функция, а функция - сложная. Сложной функцией будет и т.д. Как видим, термин «сложная функция» не обязательно означает её громоздкость – это «функция от функции».

Итак, пусть Предположим, что и – функции, производные которых мы знаем (например, функции из таблицы производных). Вопрос: как найти производную ?

Пример 3. .

Здесь мы по таблице производных знаем:

Вопрос: как найти

Формула производной сложной функции имеет простой вид:

производная сложной функции равна произведению простых функций, её составляющих.

Легко обобщить её на случай более громоздкой сложности: например, пусть , т.е. , тогда

Пример 4. Найти производную функции

Решение. Это сложная функция: Из таблицы: , - подставим и получаем:

Конечно, каждый раз сложную функцию расчленять на простые - занятие обременительное. На практике делается следующим образом.

Пример 5. Найти производную функции

Решение. Смотрим на данную функцию и говорим: во-первых, это косинус аргумента (что собой представляет аргумент мы не записываем, а просто его видим: ). Вспоминаем таблицу производных: и записываем (помня чему равен промежуточный аргумент ): Но на этом моменте мы не останавливаемся – ведь производная . Мы только записали первый сомножитель и ещё нужно найти Поэтому, мы должны были написать

.

Далее требуется найти аналогично производную «укороченной» функции по тому же алгоритму. Поскольку алгоритм один и тот же, рассуждаем аналогично: перед нами функция (промежуточный аргумент теперь равен производная равна и так далее, пока не дойдём до окончательного, независимого, аргумента :

=

Или с подробными объяснениями:

Читатель видит, что если всё делать подробно, то приходится одно и то же переписывать несколько раз. Это не рационально. Поэтому все промежуточные выкладки, которые мы заключили в скобки, держим «в уме», результат записываем сразу весь без повторений:

Нетрудно понять, что как бы громоздка ни была функция, её дифференцирование не представляет труда – ведь на каждом следующем применении формулы производной сложной функции, функция «укорачивается».