Нормальное распределение

Так называется распределение НСВ , плотность вероятностей которой и функция распределения задаётся формулами:

(27)

Формулы (27) показывают, что законы распределения зависят от двух параметров . В силу исключительной роли нормального распределения в теории вероятностей, для обоих законов ввели специальные обозначения:

.

Отметим основные свойства нормального распределения.

Выполняется основное условие плотности вероятности:

Построим график функции Во-первых, отметим симметричность графика относительно прямой = , причём в точке = имеем максимум График расположен выше оси ох. Приравнивая вторую производную нулю, получим точки перегиба:

Графики изображены на рис. 21 и 22.

F(x)

0 a- a a+ x 0 x

Следует обратить внимание на рис.21 – график плотности вероятности нормального распределения, знаменитую колоколообразную кривую, которая называется кривой Гаусса. Какие бы значения ни задавать, площадь под соответствующей кривой будет равна единице. Посмотрите кругом и увидите контуры, похожие на кривую Гаусса – очертание крон деревьев; контур кучи песка; очертание гор и холмов на горизонте, наконец, сам колокол, издающий волшебные звуки. В разделе «предельные теоремы теории вероятностей» мы ещё будем иметь повод упомянуть исключительную роль нормального закона.

Числовые характеристики нормального распределения:

. Таким образом, получен вероятностный смысл параметров нормального распределения: – это математическое ожидание, а - среднее квадратическое отклонение.

Как известно, с помощью законов распределения вычисляются вероятности

В случае нормального распределения F(x) выражается в виде интеграла (см. формулу (27)), причём этот интеграл «не берётся», т.е. не выражается в элементарных функциях. Таким образом, указанную вероятность можно вычислять, причём лишь приближённо, только по формуле:

(28)

Однако этот интеграл зависит ещё и от двух параметров: ! Не составлять же множество таблиц для разных !? Выручает замечательное свойство нормального распределения:

(29)

Формула (29) показывает, во-первых, что таблицы следует составить лишь для стандартного нормального распределения, т.е. при

Во-вторых, получим удобную формулу для вычисления упомянутых вероятностей:

(30)

где и для этой функции составлены таблицы.

Формула (30) – лишь одна из формул, использующая стандартное нормальное распределение. Рассмотрим ещё одну:

(31)

где - стандартная функция Лапласа.

Правило трёх сигм.

Мы ранее подчёркивали, что среднее квадратическое отклонение характеризует отклонение значений СВ от своего математического ожидания. Найдём для нормального распределения вероятности попадания СВ в окрестности математического ожидания радиусов, кратных :

1)Пусть k=1

2)Пусть k=2

3)Пустьk=3

Таким образом, попадание нормально распределённой СВ в окрестность матожидания радиуса 3 есть практически достоверное событие . Поэтому на практике обычно ограничиваются изучением СВ в этой окрестности, экономя тем самым определённые ресурсы.

Пример 42. Время безотказной работы (или пробег) автомобиля в теории эксплуатации автомобиля (ТЭА) называется наработкой. Наработка до первого отказа подчиняется нормальному закону.

Пусть математичекое ожидание равно 95 тыс. км.,С.К.О. =30 тыс. км. Требуется:

1) определить вероятность первого отказа с начала эксплуатации до наработки 70 тыс. км;

2) определить вероятность отказа в интервале пробега от 70 тыс. км до 125 тыс. км.

Решение. а) Обозначим = (наработка автомобиля до первого отказа). По условию Тогда

Таким образом, приблизительно 20% автомобилей потребуют замены деталей при пробеге до 70 тыс. км.

б)

Это означает, что около 64% автомобилей потребуют ремонта или замены запасными частями на пробеге от 75 до 125 тыс. км.