Условная вероятность. Независимость событий

Внимательный читатель наверняка обратил внимание на то, что в формуле вероятности суммы двух событий (теореме сложения) имеется слагаемое т.е. вероятность произведения двух событий, а мы об этом еще ничего не сказали. Это весьма важный момент, к которому мы и приступаем.

Пусть в результате опыта могут произойти события и причем известны их вероятности и Предположим теперь, что опыт произведен и известно, что произошло событие Изменит ли эта дополнительная информация начальную, доопытную (априорную) вероятность или она не меняется (хотя бы в некоторых случаях)?

Пример 15. Подбрасывается игральная кость, т.е. Рассмотрим следующие события: А = (выпадение четного числа) = В = =(выпадение нечетного числа)= С=(выпадение четверки или шестерки)= = D=(выпадение не более пяти)={1,2,3,4,5};

Рассмотрим несколько вариантов.

Пусть событие произошло, т.е. выпало нечётное число очков. Ясно, что при этом условии событие ( т.е выпадет чётное число) произойти не может, следовательно, априорная вероятность меняется.

Определение. Вероятность события при условии, что событие произошло (апостериорная вероятность), называется условной вероятностью события и обозначается

Для единообразия априорную вероятность события будем называть безусловной. Итак, в нашем примере т.е.

Пусть теперь событие произошло. Вычислим Если произошло, то выпало или 2, или 4, или 6. Из этих трех случаев событию благоприятствуют два: 4 и 6. Заметим, что Таким образом, Р(С/А)=2/3. Аналогично, легко подсчитать, что Р(А/С)=1, Р(B/D)=3/5, Р(D/B)=1 и т.д.

Определение. События и называются независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого. В противном случае события зависимые.

Условные вероятности определяются формулами:

(7)

откуда получаем формулу вероятности произведения двух событий (теорему умножения).

(8)

Отметим, что условная вероятность обладает всем свойствами вероятности.

В заключение запишем обобщенную формулу умножения вероятностей. Пусть имеем события тогда

(9)

Если события независимые, то и формула (8) приобретает вид

Заметим, что в примере 15 понять, зависимы или независимы события и можно лишь перечислив составляющие их элементарные события. Дело в том, что в данном примере элементарные исходы взаимно исключают друг друга и связаны «одним прибором» - игральной костью, - они изначально зависимы. То же можно сказать о геометрических вероятностях. В других случаях зависимость или независимость событий ясна из физического (здравого) смысла. Например, составлена электрическая цепь из нескольких элементов. Выход из строя (или исправность) каждого элемента, разумеется, не зависит от других - они изначально независимы. При этом они, конечно, могут быть совместными - могут одновременно выйти из строя.

Именно с помощью теорем сложения и умножения, а так же используя формулы комбинаторики и решают задачи. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 16. На карточках разрезной азбуки написаны буквы.

Карточки переворачивают, перемешивают и по порядку выкладывают. Найти вероятность того, что составится слово:

1) а б б а ; 2) б а о б а б

Решение. Первое задание. Будем решать двумя способами.

Первый способ ( по формулам комбинаторики). Обозначим А = ={составлено слово абба}, Число всех способов равно числу размещений (т.к. важен порядок следования букв) из 6 по 4: При вычислении числа благоприятствующих случаев заметим, что слово «абба» содержит две буквы «а» и карточек таких тоже две. Если две карточки переставить местами, то слово не изменится, сделать это можно двумя способами. Для каждой такой перестановки в слове буквы «б» тоже можно переставить местами. Поскольку карточек с буквой «б» имеется три, то сделать это можно шестью способами. По основной формуле комбинаторики следовательно, .

Второй способ (по теореме умножения)

Обозначим (первой извлечена буква ), (второй извлечена буква б), третьей извлечена буква б), (четвертой извлечена буква , тогда по формуле и по формуле (9)

Вычислить все сомножители очень просто по классическому определению вероятности: т.к. всего карточек 6, а благоприятствующих (с буквой «а») - две; т.к. всего карточек осталось 5 (событие произошло), а благоприятствующих (букв «б») - три; аналогично, Получаем:

Второй способ мы изложили подробно, потратив много времени на запись решения – устно задачу можно решить этим способом очень быстро.

Второе задание также решим этими двумя способами.

Первый способ. Событие B = {составлено слово баобаб}, Рассуждая как в первом задании, получим ( без комментариев):

Второй способ ( без записи обозначений и комментариев):

Читателю предлагается определиться, какой способ решения ему понравился больше.

Пример 17. На книжной полке стоят 10 книг и среди них три тома С.А.Есенина. Книги нечаянно сброшены и наудачу расставляются на полку вновь. Какова вероятность события состоящего в том, что три томика Есенина окажутся рядом.

Решение. Три томика Есенина будем обозначать звездочками (рис.8). Из рисунка ясно, что помеченная тройка книг среди других может занимать 8 позиций. При этом в каждой позиции можно переставлять 3 помеченные книги и 7 непомеченные, поэтому для искомой вероятности

Рис. 8 Рис. 9

Пример 18. На рис. 9 представлена электрическая цепь. Известны вероятности безотказной работы элементов цепи за время Найти вероятность безотказной работы цепи за время

Решение. Обозначим события {безотказная работа элемента за время }, Пусть событие {безотказная работа цепи за время }.

На рис.9 элементы и , соединенные последовательно, объединим в блок а элементы и в блок и обозначим события ={безотказная работа блока за время }, По схеме видно, что блоки и соединены параллельно. Тогда ( схема работает, если работает блок , или или оба). События и совместные, поэтому по теореме сложения

(10)

В каждом блоке элементы соединены последовательно, поэтому ( блок работает, если работает элемент и ). События и независимые, поэтому по теореме умножения . Аналогично Подставляя в формулу (10), получим:

Например, если все равны 0,9, то

Замечание. По решению этой задачи акцентируем внимание читателя на следующем: если применяем теорему сложения, то следим – совместны или несовместны события; если применяем теорему умножения, то учитываем - зависимы или независимы сомножители!

Пример 19. Три стрелка произвели по одному выстрелу по мишени. Вероятности попадания для стрелков равны 0,9; 0,8 и 0,7. Найти: 1) вероятность того, что мишень будет поражена тремя выстрелами; 2) вероятность того, что мишень будет поражена двумя выстрелами; 3) вероятность того, что все три стрелка промахнутся; 4) вероятность того, что хотя бы один стрелок поразит мишень.

Рещение. Введём случайные события = {i-й стрелок поразил мишень}, i=1,2,3. По условию следовательно,

1) Обозначим событие В = {мишень поражена тремя выстрелами}. Это означает, что в мишень попал и первый, и второй, и третий стрелок, следовательно, В = Разумеется, события независимые, поэтому по теореме умножения

=

2) Обозначим событие С = {мишень поражена двумя выстрелами}, следовательно, Тогда

Заметим, что слагаемые в скобках являются попарно несовместимыми событиями, поскольку в каждой паре слагаемых есть событие и ему противоположное. Например, перемножим первое и второе слагаемые:

Следовательно, по аксиоме сложения,

3) Обозначим событие Д = {все три стрелка промахнутся}, т.е. Тогда

=

1) Обозначим событие Е = {хотя бы один стрелок поразит мишень}.Этот пункт примера можно решать по-разному.Рассмотрим их все. Во – первых, можно так рассуждать: событие Е означает, что в мишени окажется или одно попадание ( или два попадания (событие или три попадания (В = поэтому

Во – вторых, можно рассуждать так: событие Е означает, что в мишень попал или первый стрелок, или второй, или третий. Тогда и по теореме сложения для трёх совместных событий получим:

Наконец, рассмотрим самый рациональный способ: событие Е противоположно событию Д, т.е.

Пример 20. В лотерее «5 из 36» можно угадать чисел Чем больше угаданных чисел, тем больше выигрыш. Обозначим события (угадано чисел), Вычислить

Решение. Каждую из вероятностей будем вычислять по классической схеме Вычислим, например, В лотерее каждый участник зачеркивает (выбирает) 5 чисел из 36. Поскольку порядок здесь не играет роли, число всех случаев Благоприятствующими случаями для являются любые сочетания из 5 выигрышных чисел по три; при этом остальные два числа будут невыигрышными, т.е. число сочетаний из 31 невыигрышных числа по 2 элемента. Следовательно,

Аналогично вычисляются другие вероятности; приведем лишь результаты:

вероятность не угадать ни одного числа,

вероятность угадать одно число;

вероятность угадать два числа;

вероятность угадать четыре числа;

вероятность угадать все пять чисел и выиграть главный приз - шанс приблизительно три из миллиона!