Тема 7. Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема существования и единственности. Уравнения с разделяющимися переменными. Линейные уравнения первого порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (случай простых корней и кратных корней). Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейные системы с постоянными коэффициентами.

 

Основные термины: бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, положительный ряд, знакопеременный ряд, абсолютная сходимость, условная сходимость знакопеременного ряда, функциональный ряд, степенной ряд, интервал сходимости, центр сходимости, радиус сходимости степенного ряда

Контрольные вопросы по теме 7:

1. Решить уравнения с разделяющимися переменными:

а) ; б) .

2. Найти решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

а) ; б) .

3. Решить линейное уравнение первого порядка:

а) ; б) .

4. Решить уравнение:

а) ; б) ;

в) ; г) .

5. Найти решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям:

а) ;

б) .

6. Решить систему дифференциальных уравнений:

а) б)

ПЛАНЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

Практическое занятие 1 по теме «Предел и непрерывность функции»

План:

1. Рассмотрение понятия предела последовательности.

2. Рассмотрение понятий предела и непрерывности функции.

2. Решение задач.

Контрольные вопросы и задачи

1. Найдите предел последовательности

1.1. . 1.2. .

1.3. = . 1.4. .
1.5. . 1 .6. .
1.7. . 1.8. .
1.9. . 1.10. .
1.11. . 1.12. .

2. Найдите предел функции

2.1. . 2.2. . 2.3. .
2.4. . 2.5. . 2.6. . 2.7. . 2.8. . 2.9. .
2.10. . 2.11. .

2.12. . 2.13. .

2.14. . 2.15. .

2.16. .

2.17. .

2.18. . 2.19. . 2.20. .
2.21. . 2.22. . 2.23. .

2.24. . 2.25. . 2.26. .

2.27. . 2.28. . 2.29. .

2.30. . 2.31. . 2.32. .

2.33. . 2.34. . 2.35. .

2.36. . 2.37. . 2.38. .

3. Следующие функции исследуйте на непрерывность. Укажите тип точек разрыва. Выясните, являются ли функции непрерывными справа или слева в точках разрыва

3.1. . 3.2.

3.3. 3.4.

3.5. 3.6.

Литература

Основная:

1. Баврин И.И. Математика для гуманитариев: учебник для студентов учреждений высш. Проф. образования гуманитарных направлений. М.: Изд. центр «Академия», 2011. С. 42–73.

2. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ, 2002. С. 141–175.

3. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика: учеб. М.: Проспект, 2009. С. 146–225.

4. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов: Учебное пособие. М.: ИНФРА-М, 1997. С. 61–65.

5. Красс М.С. Математика для экономических специальностей: Учебник. М.: ИНФРА-М, 1999. С. 22–74.

6. Пехлецкий И.Д. Математика: Учеб. для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования. М.: Издательский центр «Академия», 2003. С. 45–58.

 

Дополнительная:

1. Ганичева А.В. Краткий курс математического анализа: Учебное пособие. Тверь, 2002. С. 12–32.

2. Данчул А.Н., Митини А.И., Сафонова Т.Е., Симонов В.А. Математика: Математический анализ. Дифференциальные уравнения. Теория вероятностей. Математическая статистика. Учебно-методическое пособие / Под ред. А.Н.Данчула. М., 2004. С. 5–13.

3. Кремер Н.Ш. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учеб.-справоч. Пособие. М.: Издательство Юрайт; ИД Юрайт, 2011. С. 145–158.

4. Луканкин Г.Л., Луканкин А.Г. Высшая математика для экономистов: курс лекций: учебное пособие для вузов. М.: Издательство «Экзамен», 2006. С. 79–105.

5. Практикум по математике: пособие для студентов 1 курса / сост. А.Л.Кириллов, В.И.Клоков, С.В.Полянская. Спб.: Изд-во СЗАГС, 2009. С. 4–8.

6. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие/ Под ред. В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2004. С. 142–148.

7. Щипачёв В.С. Высшая математика. Базовый курс: учебное пособие/ под ред. акад. А.Н. Тихонова. М.: Издательство Юрайт; ИД Юрайт, 2011. С. 102–222.

Практическое занятие 2 по теме «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»

План:

1. Нахождение производной первого порядка.

2. Касательная и нормаль.

3. Производные высших порядков.

4. Решение задач.

 

Контрольные вопросы и задачи

1. Найдите производную функции .

1.1. . 1 .2. .
1.3. . 1.4. .

1.5. . 1.6. .

1.7. . 1.8. .

1.9. . 1.10. .

1.11. . 1.12. .

1.13. . 1.14. . 1.15. .

1.16. . 1.17. .

1.18. .

1.19. .

1.20. . 1.21. . 1.22. .
1.23. . 1.24. .

1.25. . 1.26 .

1.27. . 1.29. .

2. Найдите уравнения касательной и нормали к функции в точке .

2.1. a) ; б) .

2.2. , a) ; б) .

2.3. , а) ; б) .

2.4. , a) ; б) .

3. Найдите производные указанного порядка n функции .

3.1. 3.2.

3.3. 3.4.

3.5. 3.6.

3.7. 3.8.

 

Литература

Основная:

1. Баврин И.И. Математика для гуманитариев: учебник для студентов учреждений высш. Проф. образования гуманитарных направлений. М.: Изд. центр «Академия», 2011. С. 80–117.

2. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ, 2002. С. 176–250.

3. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика: учеб. М.: Проспект, 2009. С. 226–291.

4. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов: Учебное пособие. М.: ИНФРА-М, 1997. С. 66–117.

5. Красс М.С. Математика для экономических специальностей: Учебник. М.: ИНФРА-М, 1999. С. 81–133.

6. Пехлецкий И.Д. Математика: Учеб. для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования. М.: Издательский центр «Академия», 2003. С. 131–145.

 

Дополнительная:

1. Ганичева А.В. Краткий курс математического анализа: Учебное пособие. Тверь, 2002. С. 33–58.

2. Данчул А.Н., Митини А.И., Сафонова Т.Е., Симонов В.А. Математика: Математический анализ. Дифференциальные уравнения. Теория вероятностей. Математическая статистика. Учебно-методическое пособие / Под ред. А.Н.Данчула. М., 2004. С. 14–27.

3. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. М.: МГУ им. М.В.Ломоносова, Издательство «ДИС», 1998. С. 42–55.

4. Кремер Н.Ш. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учеб.-справоч. Пособие. М.: Издательство Юрайт; ИД Юрайт, 2011. С. 159–182.

5. Луканкин Г.Л., Луканкин А.Г. Высшая математика для экономистов: курс лекций: учебное пособие для вузов. М.: Издательство «Экзамен», 2006. С. 106–159.

6. Практикум по математике: пособие для студентов 1 курса / сост. А.Л.Кириллов, В.И.Клоков, С.В.Полянская. Спб.: Изд-во СЗАГС, 2009. С. 9–14.

7. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие/ Под ред. В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2004. С. 149–178.

8. Щипачёв В.С. Высшая математика. Базовый курс: учебное пособие/ под ред. акад. А.Н. Тихонова. М.: Издательство Юрайт; ИД Юрайт, 2011. С. 223–313.