Тема 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Точечные множества в n-мерном пространстве. Понятие функции многих переменных. Примеры таких функций (линейная, квадратичная; в экономике – функция полезности, производственная функция). Область определения, линии уровня функций многих переменных. Функции полезности и кривые безразличия. Производственная функция. Предел и непрерывность функций многих переменных. Частные производные. Дифференциалы функций многих переменных. Производная по направлению, градиент. Экстремум, наибольшее и наименьшее значения функций многих переменных. Условный экстремум: метод подстановки и метод множителей Лагранжа. Метод наименьших квадратов.

Основные термины: линии уровня, частные производные, производная по направлению, локальный экстремум, условный экстремум.

Контрольные вопросы по теме 4:

1. Определить области существования функций:

а) ; б) ; в) .

2. Построить линии уровня следующих функций:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Найти частные производные первого порядка и дифференциал от следующих функций: а) ; б) ; в) .

4. Найти производную по направлению функции в точке в направлении , образующим угол с осью абсцисс, если равен .

5. Найти критические точки функций и проверить в них выполнение достаточного условия экстремума:

а) ; б) ;

в) ; г) .

6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на полукруге единичного радиуса с центром в начале координат и расположенном в правой полуплоскости.

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на треугольнике с вершинами в точках .

8. Методом наименьших квадратов найти эмпирическую формулу для функции, заданной следующей таблицей:

Изобразить графически таблично заданную и соответствующую линейную функции. По формуле вычислить значение переменной y при .

9. Определить оптимальное распределение ресурсов для функции выпуска , если затраты на факторы x и y линейны и задаются ценами .

Тема 5. Интегральное исчисление

Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределённого интеграла. Неопределённый интеграл от основных элементарных функций. Интегрирование заменой переменного и по частям. Интегрирование рациональных, некоторых иррациональных функций и тригонометрических выражений. Понятие определённого интеграла, его геометрический и экономический смысл. Свойства определённого интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменного и формула интегрирования по частям в определённом интеграле. Геометрические приложения определённого интеграла. Несобственные интегралы.