Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда

Рассмотрим ряд, членами которого являются степенные функции от аргумента x:

Такой ряд называется степенным. В этом ряде действительные числа называются коэффициентами степенного ряда, величина x₀ –произвольно заданное действительное число, одно и то же для всех членов ряда, x - аргумент нашего функционального ряда. Величины и x₀ полностью задают степенной ряд. ьКраткая запись ряда: . В случае x₀ = 0 имеем ряд . Заметим, что при помощи преобразования x-x₀ = y можно свести задачу изучения ряда к изучению более простого ряда (в дальнейшем вместо y пишем x).

Для степенного ряда имеет место теорема Абеля:

Если степенной ряд сходится в некоторой точке x₀, отличной от нуля (x₀ ¹ 0), то он сходится, причем абсолютно, и в любой точке x, удовлетворяющей условию . Докажем это.

Так как ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при стремлении номера n к бесконечности. Следовательно, члены этого ряда ограничены как члены сходящейся (к нулю) последовательности . Это означает, что существует такое положительное число M >0, что для всех номеров n выполняются неравенства: . Тогда берем произвольное x ( )ирассмотрим ряд: = = . Оценим абсолютную сходимость этого ряда : - сходится, ибо это геометрическая прогрессия со знаменателем .

Следствие. Если ряд расходится при x₀, то он расходится и при любом x, .

Область сходимости степенного ряда .

Из теоремы Абеля и следствия из нее вытекает, что если степенной ряд имеет отличные от нуля точки сходимости x₀ и точки расходимости x₁, то всякая точка сходимости лежит к началу координат не дальше, чем точка расходимости. При этом получается, что точки сходимости степенного ряда заполняют некоторый промежуток на числовой оси x с центром в начале координат. Этот промежуток можно характеризовать числом R таким, что в точках x, ряд сходится (причем абсолютно), а в точках x , - ряд расходится. В точках x=-R и x=R ряд может как сходиться, так и расходиться. Существование R можно объяснить так:

в точке x^*, лежащей между x₀ и x₁, будет либо сходимость, либо расходимость; так и перебираем точки отрезка [x₀,x₁], пока не исчерпаем весь этот отрезок.

Определение. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда , если для всякого ряд сходится, а для всякого ряд расходится. Интервал (-R, R) называют интервалом сходимости, начало координат – центр интервала сходимости.

Разъяснение:

Для ряда центром интервала сходимости будет точка x₀ . Число R будет радиусом сходимости, если для ряд сходится, а для ряд расходится. Интервал сходимости этого ряда: -R+x₀ < x <R+x₀ . На концах интервала сходимости x=-R+x₀ и x= R+x₀ ряд может либо сходиться, либо расходиться.

Для отыскания радиуса сходимости , характеризующего область сходимости степенного ряда, можно поступать с рядом, как с числовым – применять к нему признаки Даламбера, Коши и другие.

Пусть, например, существует предел . Тогда находим ; ; . Если q=0, то вся действительная ось x является областью сходимости. Если q= ¥, то ряд сходится только в точке x=0, а на всей оси x он расходится. Если же не существует (но, допустим, существует самая правая предельная точка (точка сгущения) числовой последовательности , то обозначив эту правую точку через находим, что заведомо ряд будет сходиться, если , т.е. если

Аналогично поступаем при применении признака Даламбера. Пусть существует . Тогда

Сходимость ряда на концах x=-R и x=R исследуется отдельно.

45. Аналитические свойства суммы степенных рядов:

1. Степенной ряд равномерно (правильно) сходится на любом замкнутом интервале [-b, b], находящемся внутри интервала сходимости (-R, R). Действительно, берем любое x₀, лежащее между b и R: . Тогда для любого ряд мажорируется числовым рядом , который сходится. Следовательно, и наш степенной ряд сходится равномерно по признаку Вейерштрасса.

2. Степенной ряд, составленный из производных имеет тот же радиус сходимости R, что и исходный ряд . Это свойство легко доказывается в случае существования предела . Тогда что и требовалось.

Отсюда в частности следует, что все степенные ряды, получаемые почленным дифференцированием исходного ряда, имеют один и тот же радиус сходимости. Все эти ряды будут сходиться правильно на замкнутом отрезке, лежащем внутри интервала сходимости.

3. Сумма степенного ряда непрерывна в каждой точке x₀ интервала (-R, R) (ибо он сходится равномерно на отрезке [-x₀, x₀]). Рассмотрим пример ряда: =S(x). Функция S(x) разрывна только при x=1, но вне интервала сходимости она не является суммой ряда.

4. Степенные ряды можно почленно интегрировать в интервале сходимости (-R, R). Пусть a и b – точки, лежащие внутри (-R, R). Тогда будем иметь:

5. Степенные ряды можно почленно дифференцировать в любой точке интервала сходимости, причем будем иметь: