Сходимость произвольных рядов

Ряды, в которых имеется бесконечное количество положительных членов и бесконечное количество отрицательных членов называют знакопеременными.

Ряды знакочередующиеся: . Здесь полагаем все . В таком ряде знаки + и - чередуются и идут через один, откуда и название ряда.

Признак Лейбница. Если члены ряда : монотонно убывают: и если общий член стремится к нулю ( ), то ряд сходится.Cходящийся ряд называют рядом лейбницевского типа.

Для доказательства сначала рассмотрим частичные суммы с четными номерами: . Объединяем слагаемые в этой сумме: Таким образом, равна сумме положительных слагаемых и следовательно, не убывает, является монотонно возрастающей последовательностью. Она ограничена сверху: . Итак, - последовательность ограничена сверху. Она имеет предел: . Но если перейти к суммам нечетным, то будем иметь: . Поскольку предел , то имеем окончательно: . Другими словами, четные и нечетные частичные суммы имеют один и тот же предел. Отсюда заключаем, что ряд сходится. Попутно мы доказали, что .

На основании этого неравенства удобно оценивать сумму остатков и . Имеем:

Ясно, что . Объединяя неравенства для и , можно написать , где m – произвольное натуральное число, четное или нечетное. Таким образом, при замене суммы знакочередующегося ряда Лейбница на его частичную сумму мы совершаем ошибку, не превосходящую (по модулю) первого отброшенного члена рядя.

Пример: - ряд сходится по признаку Лейбница, ибо Это ряд Лейбница. Позже будет показано, что .

Требование монотонности стремления членов знакочередующегося ряда к нулю существенное для его сходимости. Если оно не выполнено, то возможна расходимость ряда, несмотря на стремление к нулю его членов. В качестве примера такого поведения рассмотрим ряд: . Члены этого ряда не удовлетворяют условию монотонности стремления к нулю : . Для него имеем:

Но гармонический ряд расходится, поэтому рассмотренный знакочередующийся ряд также расходится.

Заметим, что в теореме Лейбница условия монотонности можно ослабить. Достаточно потребовать монотонности членов ряда, начиная с некоторого места (номера n). Т.е. первые члены знакочередующегося ряда могут не удовлетворять условию монотонности.

Поэтому если рассмотреть ряд , то увидим, что при любом фиксированном x , для достаточно больших n , имеет один определенный знак, и имеем ослабление условий, ряд сходится при любом x.

Определение функционального ряда. Точка сходимости функционального ряда, точка расходимости. Определение области сходимости и области расходимости функционального ряда. Примеры нахождения области сходимости и области расходимости рядов.

Функциональные ряды

Ряды, членами которых являются не числа, а функции от некоторого аргумента x,а именно,

, называют функциональным. Предполагается, что функции определены на одной и той же области определения.

Ряд может при одних x сходиться, а при других x - расходиться.

Если при некотором x=x₀ ряд сходится, то такую точку называют точкой сходимости ряда. Совокупность (множество) точек сходимости образует область сходимости ряда. Итак, область U является областью сходимости, если в каждой точке U ряд сходится.

Пример. Функциональный ряд:

сходится в области . При этот ряд расходится.

Для сходящегося ряда определена сумма S. Очевидно, она будет также зависеть от x, т.е. S=S(x): в области сходимости.

Заметим, что S(x) может оказаться определенной не только в области сходимости ряда, но и в более широкой области. Например:

определена при любом

В общем случае S(x) определяется через частичные суммы . Имеем по определению в точке сходимости. Также в точке сходимости имеем для остатка

свойство .

Изучение свойств функционального ряда сводится, в общем случае, к решению вопроса: заданы свойства членов ряда . Какими будут свойства суммы?

Например, пусть в области сходимости U члены ряда являются непрерывными функциями. Можно ли гарантировать, что и сумма S(x) будет непрерывной в U функцией? Напомним, что если в конечной сумме слагаемые – непрерывные функции, то и сумма будет непрерывной. Возникает вопрос: переносится ли это свойство безоговорочно и на бесконечные суммы (ряды)? Примеры показывают, что нет.

Рассмотрим ряд

При x=0 ряд сходится и имеет суммой 0: S(0)=0. При x¹0 имеем геометрическую прогрессию, сумма S(x) которой равна:

Итак, S(0)=0, S(x)=1. Сумма S(x) оказалась разрывной. Но все члены ряда

- непрерывные функции!

Итак, одной непрерывности членов ряда недостаточно для того, чтобы сумма ряда была определенной и непрерывной – как видим, она может быть разрывной.

Дополнительным условием, обеспечивающим непрерывность суммы, будет так называемое условие равномерной сходимости ряда.

Определение. Ряд равномерно сходится в некоторой области D, если для произвольного e > 0 найдется такой номер N, зависящий от e (N = N(e)), что выполняется неравенство для всех xÎD и для любого n>N(e). Может случиться, что во всех точках области D ряд сходится, но остаток ряда не удовлетворяет написанному выше условию равномерной сходимости. Рассмотрим предыдущий пример. При x=0, r_n(0)=0; при x¹0 имеем

Все r_n(x) при x ®0 стремятся к 1, и условие не может быть удовлетворено, если e <1.

Итак, S(0)=0, S(x)=1. Сумма S(x) оказалась разрывной. Но все члены ряда

- непрерывные функции!

Итак, одной непрерывности членов ряда недостаточно для того, чтобы сумма ряда была определенной и непрерывной – как видим, она может быть разрывной.

Дополнительным условием, обеспечивающим непрерывность суммы, будет так называемое условие равномерной сходимости ряда.

Определение. Ряд равномерно сходится в некоторой области D, если для произвольного e > 0 найдется такой номер N, зависящий от e (N = N(e)), что выполняется неравенство для всех xÎD и для любого n>N(e). Может случиться, что во всех точках области D ряд сходится, но остаток ряда не удовлетворяет написанному выше условию равномерной сходимости.

Рассмотрим предыдущий пример. При x=0, r_n(0)=0; при x¹0 имеем

, Все r_n(x) при x ®0 стремятся к 1, и условие не может быть удовлетворено, если e <1.

42.Определение равномерной сходимости ряда в некоторой области. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости.

Достаточным признакомравномерной сходимости будет признак Вейерштрасса:

Ряд равномерно сходится в области D, если существует некоторый положительный сходящийся числовой ряд , для которого во всей области D выполняются неравенства: .

Действительно, имеем:

Но ряд сходится, и его остаток стремится к нулю при n®¥, и следовательно для любого e>0 найдется такое N, что для любого n>N , . Тогда при любом n >N, что и требовалось. Мы видели, что ряд сходится всюду на оси x, но неравномерно. Любопытно отметить, что ряды и сходятся равномерно, если сходятся ряды и .Дадим еще примерравномерно сходящегося ряда: . Можно видеть, что при любом значении аргумента x этот ряд будет знакочередующимся. Следовательно, для его остатка имеем оценку:

Следовательно, ряд сходится равномерно на всей числовой оси x .Из признака Вейерштрасса следует, что если к ряду применим этот принцип, то и ряд будет равномерно сходящимся в области D. Однако возможны случаи, когда ряд равномерно сходится, но ряд даже расходится. Примером может служить ряд , который сходится равномерно на всей числовой оси x , но ряд расходится при любом x.

Это говорит о том, что к некоторым рядам невозможно «подойти» с помощью признака Вейерштрасса. Чтобы как-то отделить, уточнить характер равномерно сходящихся (по определению) рядов от рядов, равномерную сходимость которых можно определить по признаку Вейерштрасса, говорят, что если ряд удовлетворяет признаку Вейерштрасса, то он сходится правильно. Правильная сходимость – это, описательно говоря, равномерная сходимость высшей категории.

Основные аналитические свойства функциональных рядов: при каких условиях возможен почленный переход к пределу в ряде, условие непрерывности суммы ряда. Сформулировать условия, при которых возможно почленное интегрирование ряда, почленное дифференцирование ряда.

Свойства:

1. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда.

Пусть ряд равномерно сходится в некоторой области D, причем его члены являются непрерывными в D функциями. Тогда и сумма ряд S(x) будет непрерывной функцией в области D.

Для доказательства обозначим S _n(x) частичную сумму ряда и пусть r_n(x) - остаток ряда. Имеем по определению: .

Тогда . Берем произвольную точку x₀ ÎD . Рассмотрим и составим приращение суммы ряда в точке x₀ : . Далее, для модулей:

. Берем произвольное e>0 . Подберем такое N, чтобы для всех n>N имели место неравенства: и

Тогда в D имеем: . Зафиксируем n и учтем при этом, что S_n(x) - непрерывная функция в точке x₀ . Тогда можно подобрать x , близкое к x₀ , чтобы . В итоге имеем неравенство , означающее в силу произвольности e непрерывность суммы ряда в произвольной точке x₀ области D, то есть и во всей области D.

2. Почленный переход к пределу.

Пусть в области D ряд сходится равномерно и его сумма равна S(x). Пусть существуют пределы , где a - точка области D. Тогда существует предел , причем (без доказательства).

3. Почленное интегрирование ряда .

Теорема. Если ряд из непрерывных функций u_n(x) сходится в области D : a £ x £ b равномерно, то сумму ряда S(x) можно интегрировать, причем

Таким образом, равномерно сходящийся ряд можно почленно интегрировать, причем проинтегрированный ряд будет сходиться. Имеем:

Берем "e>0. Докажем, что можно удовлетворить неравенству

подбирая n большим. В силу равномерной сходимости ряда на отрезке a £ x £ b можно утверждать, что существует такое натуральное N , что при всех n >N , . Тогда: , что и требовалось.

Итак, для равномерно сходящегося ряда имеем: .

4. Теорема о дифференцировании ряда.

Пусть ряд сходится к S(x) равномерно в области D : [ a, b ] и пусть функции (все, при любом n) непрерывны в этой области. Тогда если ряд сходится равномерно в этой же области D , то его сумма равна . По-другому, имеет место равенство:

Действительно, если ряд равномерно сходится в области [ a, b ], то можно взять произвольную точку x из этого отрезка, и если в этой точке имеет место равенство , то прежде всего будем иметь в виду, что j(x) непрерывна. Но тогда:

Следовательно, , что и требовалось доказать.