Признак Коши (радикальный). Интегральный признак Маклорена – Коши

Признак сравнения для рядов (в двух формах)

Пусть имеем ряд A : , в котором все члены положительные: (члены, равные нулю, можно выбросить из ряда без ущерба для сходимости-расходимости ряда).

Лемма. Если частичные суммы ряда S_n= a₁ + a₂+ … + a_n с положительными членами ограничены сверху ( ), то ряд А сходится. Это связано с тем, что последовательность частичных сумм строго монотонна и ограничена сверху. Следовательно, она имеет предел.

Признак сравнения. Пусть даны два ряда:

Пусть Тогда из сходимости ряда А следует сходимость ряда В , из расходимости ряда В следует расходимость ряда А.

Действительно, если сходится ряд А, то есть если он имеет сумму, то частичные суммы ряда В будут ограничены сверху и будут строго монотонно возрастающими. По уже упоминавшемуся свойству монотонных ограниченных сверху последовательностей, частичные суммы ряда В будут иметь предел, ряд В также сходится.

Аналогично, если ряд В расходится, то это означает, что его частичные суммы неограниченны сверху. Но тогда и последовательность частичных сумм ряда А будет неограниченной сверху и предела иметь не будет, ряд А также расходится.

Если существует предел , то ряды А и В сходятся одновременно (или расходятся одновременно).

Если же k=0, то из сходимости ряда В следует сходимость ряда А . При k=¥ , из расходимости ряда В следует расходимость ряда А.

Аналогично, если ряд В расходится, то это означает, что его частичные суммы неограниченны сверху. Но тогда и последовательность частичных сумм ряда А будет неограниченной сверху и предела иметь не будет, ряд А также расходится.

Признак Даламбера.

Рассмотрим знакоположительный ряд . Допустим, что имеется предел: Тогда при q<1 ряд А сходится, а при q>1 ряд А расходится. Случай q=1 будет критическим, признак Даламбера не дает ответа. Докажемсходимость ряда А при q<1. Поскольку q<1, то существует q₀, удовлетворяющее неравенству q<q₀<1. Далее, так как то существует N, такое что для всех n >N имеет место неравенство:

, откуда . Распишем эти неравенства подробнее:

Остаток ряда А сравниваем с остатком геометрической прогрессии: , который сходится, ибо знаменатель q₀ этой прогрессии меньше единицы. Следовательно, остаток R_N тоже сходится, ибо его члены меньше членов сходящейся геометрической прогрессии. А если остаток R_N сходится, то сходится и сам ряд А.

Расходимость ряда А при q> 1 также следует из признака сравнения: что (n>N) т.е. члены остатка и так далее – члены нашего ряда превосходят члены расходящейся геометрической прогрессии, ряд А также расходится.

Признак Коши (радикальный). Интегральный признак Маклорена – Коши.

Признак Коши. Рассмотрим ряд A : с положительными членами. Пусть существует Тогда если q <1, то ряд сходится, если q>1 то ряд расходится. При q=1 признак Коши ответа не дает.

Для доказательстварассмотрим прогрессию , где . Тогда ясно, что эта прогрессия сходится, ибо Но: при n>N. Следовательно ; Из сравнения с написанной сходящейся прогрессией следует сходимость нашего ряда.

Расходимость при следует из того, что например не стремится к нулю.

Пример: . Сходится ли этот ряд? Имеем при . Ряд сходится при всех x.

Интегральный признак сходимости.(Маклорена – Коши).

Пусть дан ряд , члены которого являются значениями непрерывной монотонно убывающей функции при целочисленных значениях аргументов, т.е. . Тогда ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом: .

Доказательство. Пусть интеграл сходится и пусть =S₀. Но тогда из геометрических соображений видно, что

или: . Перепишем это неравенство: , - последовательность частичных сумм ограничена сверху. Поскольку она монотонно возрастает, то имеет предел – ряд сходится.

Пусть теперь интеграл расходится. Тогда . С возрастанием номера n правая часть этого неравенства неограниченно растет, ряд расходится.

Пример. Рассмотрим достаточно общий ряд , где s - произвольная постоянная величина. При s = 1 ряд превращается в гармонический и расходится. Пусть теперь s>1. Применим интегральный признак. Полагаем , находим : . Интеграл сходится, и ряд также сходится. При s<1 имеем: . Интеграл расходится – ряд также расходится. Итак, ряд сходится при s >1 и расходится при s£1.