Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида
P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0
называется уравнением в полных дифференциалах, если P(x, y) и Q(x, y) непрерывны в некоторой односвязной области D и в этой области выполнено условие

Тогда общий интеграл уравнения задается выражением
.

Обозначим

тогда

откуда

и формула для вычисления u(x, y) имеет вид:

Выражение u(x, y)=0, где

задает решение задачи Коши y(x₀) = y_0.

Уравнение в полных дифференциалах и их решение

Пусть задано диф. ур-е ел. Вида:

где P(x,y) и Q(x,y) – непрер. Функции имеющие непрерыв часн. Производную 2 порядка включительно.

Диф. ур. Назыв. Ур-ем в полных диф-лах , если такое что

т.е. ур. В этом случае имеет вид :

это уравнение явл полным диф. функции U как ф-ции двух переменных:

если выполняется равенство тогда то левая часть а тогда его решение

- общий интеграл диф. Ур.

Теорема о необходимости и достаточности условия того что Ур было ур-ем в полных дифференциалах

Теорема : Для того чтобы ур было ур-ем в полных диф. в некоторой Дпринадл ХОУ

Необх. И дост. Чтобы во всех точках обл. Д выполн равенство если условие выполняется можно найти ф-цию что будет выполняться рав-во след. Образом.

найдем

Интегральный множитель и его нахождение

Пусть задано диф. ур-ние в диф. форме вида :

не всякое такое уравнение явл. Уравнением в полных виференциалах однако доказано что для всякого такого ур-я может быть подобрана ф-ция такая что после умножения левого и правого ур-я на эту функцию данное уравнение стан ур-ем в полных диф. Ф-цияю назыв интегральным множителем данного уравнения

Найдем функцию определяющую интегр. Множитель данного уравнения:

тогда должно выполн. Рав-во:

имеем уравнение в частных производных относит неизв функции Мю.Общего метода нахожения которой не существует

Найдем интегр множитель в случае если он явл ф-цией от одной из перемен.

1)Найдем условие при которых функция должна удовлетв равенству

; будет зависеть только от Х если правая часть ур будет зависеть только от Х

2) Аналогично и = (У)

; будет зависеть только от Х если правая часть ур будет зависеть только от

y

Билет 34.

Дифференциальные уравнения порядка выше 1-го, допускающие понижения порядка.

А)Уравнения вида .Общее решение получается путём n-кратного интегрирования ,где , или по формуле

б) , т.е. уравнения не содержащие явно искомой функции и её производных до порядка (k-1) включительно.С помощью замены переменной порядок уравнения понижается на k единиц: .Предположим , что для полученного уравнения путём N-кратного интегрирования мы можем найти общее решение .Тогда искомая функция y(x) получается путём k-кратного интегрирования функции .

в) , не содержащие явно зависимой переменной. Подстановкой , и т.д. порядок уравнения понижается на единицу.

г) , т.е. такие уравнения , в которых левая часть может быть представлена как полная производная по x от некоторой функции ,.Интегрируя по х , получим новое уравнение, порядок которого на 1 ниже порядка исходного уравнения.

д) , однородное относительно функции и её производных, т.е. такое, что .Подстановкой порядок уравнения понижается на 1.

Билет 35.