Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла

Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке . Тогда по геометрическому смыслу определенного интеграла площадь S под кривой на численно равна определенному интегралу , т.е. .

Пример:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , .

Из Рис. 1 видно, что площадь криволинейного треугольника ОАВ равна разности двух площадей: . Решая систему , получаем координаты точки В (точки пересечения кривой и прямой ) В . Тогда , .

Окончательно .

Отметим, что данная задача может быть решена другим способом.

По определению определенного интеграла .

Это равенство можно понимать так, что при построении интегральной суммы разбиению подвергается отрезок оси ординат. Соответственно точки - это ординаты, фиксированные на каждом из отрезков разбиения. Поэтому, если на , то интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой и прямыми , , .

Рис. 1

Возвращаясь к нашей задаче, можно посчитать площадь следующим образом:

.

Если функция не положительна и непрерывна на отрезке , то площадь над кривой на отличается знаком от определенного интеграла :

.

Пример:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , .

Из Рис. 2 видно, что искомая площадь криволинейного треугольника ОАВ может рассматриваться как площадь над кривой ОАВ на отрезке . Однако указанная кривая (ломаная)не задается одним уравнением. Поэтому для нахождения площади необходимо разбить треугольник ОАВ на две части . Координаты точек есть , и .

, .

Окончательно, .

Билет 19.

Вычисление объемов тел вращения

13.4.1. Вычисление объёма тела по площадям поперечных сечений. Пусть тело V расположено в пространстве между плоскостями x = a и x = b, и для известна площадь его поперечного сечения

S = S(x). Требуется определить объём этого тела.
Рассечём это тело плоскостями x = x₀ = a, x = x₁, x = x

₂, …, x = x_i-1, x = x_i, …, x = x _n-1, x = x_n = b на n слоёв (a

= x₀< x₁ < < x₂< …< x_n-1 < x_n = b), на каждом из

отрезков [x_i-1, x_i] возьмём произвольную точку ;

будем считать, что объём слоя, заключенного между плоскостями x = x_i-1 и x = x_i приближённо равен

объёму цилиндрика с площадью основания

и высотой : .

Сумма объёмов - объём ступенчатой фигуры - при стремится к искомому объёму V, поэтому .
13.4.2. Объём тела, получающегося при вращении кривой вокруг координатной оси. Если объём V получается в результате вращения кривой y = f(x), , вокруг оси Ox, то, очевидно, , поэтому .
Пример: найти объём эллипсоида, получающегося при

вращении эллипса вокруг оси Ox.
Решение: эту задачу проще решить, если применить параметрические уравнения эллипса: .

Верхняя дуга эллипса получается при изменении t от 0 до

, при этом точке крайней левой точке эллипса соответствует значение параметра t₀ , равное , крайней

правой точке соответствует значение t_k = 0. Формула для кривой, заданной параметрически,примет вид , поэтому .
Если требуется найти объём тела, которой получается при вращении плоской фигуры ABCD вокруг оси Oy, рассуждаем по другому. Разбиваем тело на полые цилиндры радиуса x, толщины , высоты f(x). Объём этого цилиндра равен произведению длины окружности на толщину и высоты f(x); суммируя эти объёмы и переходя к пределу при , получим .

13.4.3. Объём тела, получающийся при вращении сектора, ограниченного кривой и двумя полярными радиусами и , вокруг полярной осинаходится по формуле .
Пример: найти объём тора, полученного вращением окружности вокруг полярной оси.

Решение:

.

Билет 20.