Интегралы, неберущиеся в элементарных функциях

Билет №1.

Первообразная функции и неопределенный интеграл.

 

 

Терема:

Если F(x) яв –ся первообразной от фун-ции f(x), то и F(x)+c тоже яв-ся первообразной f(x).

Совокупность первообр. {F(x)+c} называют неопределенным итегралом.

 

-знак интеграла

- подинтегральная ф-ция;

- подинтегральное выражение;

x- переменная интегрирования;

c- постоянная;

Билет2.

Свойства неопределённого интеграла.

1)

Док- во:

2)

3) Док-во: (из определения диф-ла)

4) Док-во:

5)

Док-во:

4),5)- линейные свойства неопределённого интеграла

 

Билет №3.

Интегралы от основных элементарных функций.(таблица)

Билет №4.

Метод замены переменной в неопределённом интеграле

Теорема:

Если ф-ия x(t) диф-ма на мн- ве t T и сущ. , то

Док- во:

Билет 5.

Метод интегрирования по частям.

Теорема.

Пусть ф-ция u=u(x) дифференцируема на x X, а ф-ция v=v(x) интегрируема на мн-ве x, тогда справедлива формула интегрирования по частям:

Док-во:

Типы интегралов:

 

1.

 

нужно применять формулу интегрирования по частям n раз

 

2.

 

применять ф-лу k раз;

 

Билет №6.

Интегрирование простейших рациональных дробей

1)n>m=>неправильная дробь, нужно выделить у этой дроби целую часть и правильную дробь.

, где W(X)- целая часть.

Метод вычёркивания можно использовать только в том случае, если знаменатель представлен в виде произведения полиномов первых степеней.

Билет №7.

Интегрирование некоторых видов иррациональностей.

Интегралы вида , .

а) -интегралы, подинтегральная

фун-ция кот-рых яв-ся иррациональной

ф-цией относительно .

б)

 

 

Билет №8.

Интеграл вида

Подстановка Эйлера: 1-ая подстановка: a>0

X=

2-ая подстановка: с>0 (или )

Замечание: подстановки Эйлера не рекомендуются, если a>0 и c>0 одновременно.

3-ая подстановка:

 

Билет№9.

Интегрирование тригонометрических ф-ций.

-интегралы, к-рые считаются рациональными отностельно sinx и cosx.

Универсальная подстановка:

Замечание: универсальная подстановка приводит часто к громоздким вычислениям и , поэтому лучше использовать спец. приемы.

Билет №10.

Интегрирование иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок.

Замечание: универсальная подстановка хорошо применяется для интегралов вида: а в остальных случаях применение универсальной подстановки громоздко.

Интегралы вида:

1)если m- нечётное, n- чётное, то замена

2)если m- чётное, n- нечётное, то замена

3)если m,n- нечётные, то замена или

4)если m,n- чётные, то необходимо понизить степень при помощи формул ; и

5)если m+n=-2k, гдеk>0 и m+n<0 , то замена t=tgx

Билет №11.

Интегрирование дифференциальных биномов.

1)p x= , n- общий знаменатель дроби

2) общий знаменатель m и n

3) , где s- знаменатель p

Билет №12.

Интегралы, неберущиеся в элементарных функциях.

1) - интеграл Пуассона (статистика) 2) -интегральный sin

3) -интегральный cos 4) -интеграл Френеля

5) -интеграл Френеля

Билет 13.