Тема «Дифференциальное исчисление»

Вариант 1

1. Найти производные:

а). ; б). ;

в). г).

2. Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить пределы функций:

а). ; б). ; в).

3. Провести полное исследование функций и построить их графики:

а). ; б). ;

4. Число 8 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма их кубов была наименьшей.

5. Найти углы, под которыми пересекаются данные линии: .

 

Вариант 2

1. Найти производные:

а). ; б). ;

в). г).

2. Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить пределы функций:

а). ; б). ; в).

3. Провести полное исследование функций и построить их графики:

а). ; б). ;

4. Число 36 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

5. Найти углы, под которыми пересекаются данные линии: .

 

Вариант 3

1. Найти производные:

а). ; б). ;

в). г).

2. Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить пределы функций:

а). ; б). ; в).

3. Провести полное исследование функций и построить их графики:

а). ; б). ;

4. Объем правильной треугольной призмы равен V. Какова должна быть стона основания, чтобы полная поверхность призмы была наименьшей?

5. Найти углы, под которыми пересекаются данные линии: .

Вариант 4

1. Найти производные:

а). ; б). ;

в). г).

2. Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить пределы функций:

а). ; б). ; в).

3. Провести полное исследование функций и построить их графики:

а). ; б). ;

4. Открытый бак имеет форму цилиндра. При данном объеме V, каковы должны быть радиус основания и высота цилиндра, чтобы его поверхность была наименьшей?

5. Найти углы, под которыми пересекаются данные линии: .

 

Вариант 5

1. Найти производные:

а). ; б). ;

в). г).

2. Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить пределы функций:

а). ; б). ; в).

3. Провести полное исследование функций и построить их графики:

а). ; б). ;

4. Найти радиус и высоту цилиндра, имеющего объем V и наименьшую полную поверхность.

5. Найти углы, под которыми пересекаются данные линии: .

 

Вариант 6

1. Найти производные:

а). ; б). ;

в). г).

2. Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить пределы функций:

а). ; б). ; в).

3. Провести полное исследование функций и построить их графики:

а). ; б). ;

4. Из круга вырезан сектор с центральным углом . Из сектора свернута коническая поверхность, при каком значении угла объем полученного конуса будет наибольшим?

5. Найти углы, под которыми пересекаются данные линии: .

Вариант 7

1. Найти производные:

а). ; б). ;

в). г).

2. Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить пределы функций:

а). ; б). ; в).

3. Провести полное исследование функций и построить их графики:

а). ; б). ;

4. Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Каковы должны быть его стороны, чтобы объем тела, образованно вращением этого треугольника вокруг его основания был наименьшим?

5. Найти углы, под которыми пересекаются данные линии: .

 

Вариант 8

1. Найти производные:

а). ; б). ;

в). г).

2. Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить пределы функций:

а). ; б). ; в).

3. Провести полное исследование функций и построить их графики:

а). ; б). ;

4. При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данного объема V будет иметь наименьшую полную поверхность?

5. Найти углы, под которыми пересекаются данные линии: .

 

Вариант 9

1. Найти производные:

а). ; б). ;

в). г).

2. Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить пределы функций:

а). ; б). ; в).

3. Провести полное исследование функций и построить их графики:

а). ; б). ;

4. Найти кратчайшее расстояние от точки М(2;2) до параболы .

5. Найти углы, под которыми пересекаются данные линии: .

 

Вариант 10

1. Найти производные:

а). ; б). ;

в). г).

2. Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить пределы функций:

а). ; б). ; в).

3. Провести полное исследование функций и построить их графики:

а). ; б). ;

4. На странице книги печатный текст должен занимать S кв.см. Верхнее и нижнее поля должны быть по a см., правое и левое – по b см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?

5. Найти углы, под которыми пересекаются данные линии: .

II семестр