Тема «Функции действительного переменного»

Вариант 1

1. Решить уравнение

2. Найти область определения функции

3. Построить график:

4. Является ли множество чисел для ограниченным сверху, снизу. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани.

5. Тождественны ли функции: .

6. Выразить зависимость длины одного катета прямоугольного треугольника от длины другого катета, если гипотенуза постоянная величина равная 5.

7. Построить сечение множества действительных чисел, определяющих число . Доказать, что в одном классе нет наибольшего числа, а в другом классе нет наименьшего числа.

Вариант 2

1. Решить уравнение

2. Найти область определения функции

3. Построить график:

4. Является ли множество чисел для ограниченным сверху, снизу. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани.

5. В сосуд налита вода. На глубине давление этой жидкости . Составить функцию, выражающую зависимость давления от глубины.

6. Даны функции: , найти вид следующих функций:

7. Сечение множества действительных чисел, определяющее число , строится так: один класс содержит все рациональные числа а такие, что , другой класс другой класс содержит все остальные рациональные числа.. Доказать, что в одном классе нет наибольшего числа, а в другом классе нет наименьшего числа.

Вариант 3

1. Решить уравнение

2. Найти область определения функции

3. Построить график:

4. Является ли множество чисел для ограниченным сверху, снизу. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани.

5. Доказать, что сумма двух четных функций есть четная функция; сумма двух нечетных функций есть нечетная функция;

6. Тождественны ли функции: .

7. Сечение множества действительных чисел, определяющее число , строится так: один класс содержит все рациональные числа а такие, что , другой класс другой класс содержит все остальные рациональные числа.. Доказать, что в одном классе нет наибольшего числа, а в другом классе нет наименьшего числа.

Вариант 4

1. Решить уравнение

2. Найти область определения функции

3. Построить график:

4. Является ли множество чисел для ограниченным сверху, снизу. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани.

5. Выразить площадь равнобедренной трапеции с основаниями , как функцию угла при основании .

6. Функция определена на отрезке . Каковы области определения функций:

7. Сечение множества действительных чисел, определяющее число , строится так: один класс содержит все рациональные числа а такие, что , другой класс другой класс содержит все остальные рациональные числа. Доказать, что в одном классе нет наибольшего числа, а в другом классе нет наименьшего числа.

Вариант 5

1. Решить неравенство

2. Найти область определения функции

3. Построить график:

4. Является ли множество чисел для ограниченным сверху, снизу. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани.

5. Доказать, что множества и разделяются только одним числом 2.

6. Придумать пример аналитической функции определенной только для

7.Выразить диаметр окружности, описанной около треугольника, как функцию угла , лежащего против заданной стороны треугольника а.

Вариант 6

1. Решить систему уравнений

2. Найти область определения функции

3. Построить график:

4. Является ли множество чисел для ограниченным сверху, снизу. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани.

5. Прямоугольный треугольник, сторона которого равна вписан в окружность радиуса . Найти периметр этого треугольника.

6. Пусть Показать, что

7.Сечение множества действительных чисел, определяющее число , строится так: один класс содержит все рациональные числа а такие, что , другой класс другой класс содержит все остальные рациональные числа. Доказать, что в одном классе нет наибольшего числа, а в другом классе нет наименьшего числа.

Вариант 7

1. Решить неравенство

2. Найти область определения функции

3. Построить график:

4. Является ли множество чисел для ограниченным сверху, снизу. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани.

5. В шар радиуса вписан цилиндр. Выразить объем этого цилиндра, как функцию его высоты. Найти область определения этой функции, найти множество значений полученной функции.

6. Доказать, что множества и разделяются любым числом отрезка [2;4].

7.Сечение множества действительных чисел, определяющее число , строится так: один класс содержит все рациональные числа а такие, что , другой класс другой класс содержит все остальные рациональные числа. Доказать, что в одном классе нет наибольшего числа, а в другом классе нет наименьшего числа.

Вариант 8

1. Решить систему уравнений

2. Найти область определения функции

3. Построить график:

4. Является ли множество чисел для ограниченным сверху, снизу. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани.

5. В треугольнике АВС сторона АВ=6 см, сторона АС=8 см и угол ВАС равен х. Выразить сторону ВС=а и площадь треугольника, как функции угла х, построить их графики.

6. Дана функция . Найти: . Существует ли

7. Выразить радиус основания конуса как функцию его высоты при заданном объеме .

Вариант 9

1. Решить уравнение

2. Найти область определения функции

3. Построить график:

4. Является ли множество чисел для ограниченным сверху, снизу. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани.

5. Газ при давлении р=1атм занимает объем . Выразить изменение объема газа в зависимости от давления р, если температура газа остается постоянной.

6. Переменная х пробегает интервал , какое множество пробегает переменная у, если

7. Выразить площадь прямоугольного треугольника, как функцию его катета при условии, что периметр этого треугольника равен 2р.

Вариант 10

1. Решить уравнение .

2. Найти область определения функции

3. Построить график:

4. Является ли множество чисел для ограниченным сверху, снизу. Найти точную нижнюю и точную верхнюю грани.

5. В равносторонний треугольник, сторона которого равна 6 см, вписан прямоугольник высотой х. Выразить площадь этого прямоугольника, как функцию от х.

6. Составить композицию функций если

7. Выразить радиус шара, как функцию его объема.