Коррелированные замирания сигналов

Из сравнения (3.1.14) с (2.4.2) следует, что случай полностью коррелированных замираний идентичен случаю приема на одну антенну, но имеющую в N раз большее усиление. Тогда, учитывая (2.4.6) получим, что вероятность битовой ошибки будет равна

. (3.2.10)

При достаточно большом ОСШ имеем

. (3.2.11)

В логарифмическом масштабе кривая вероятности ошибок имеет линейную асимптотику при больших ОСШ с углом наклона прямых, равным (-1). Следовательно, порядок разнесения в случае полностью коррелированных релеевских замираниях сигналов равен единице и не зависит от числа антенн. Вероятность ошибки в зависимости от ОСШ для коррелированных релеевских замираний при разном числе антенн (N=1,2,4 и 8) представлена на рис. 3.6. Видно, что с увеличением N кривые сдвигаются влево на 3 дБ.

Рис. 3.6. Вероятность битовой ошибки в зависимости от ОСШ для разного числа приемных антенн (N=1,2,4 и 8)

Рассмотрим теперь случай произвольным образом коррелированных релеевских замираний. Для вычисления вероятности битовой ошибки найдем такое матричное преобразование сигналов, которое обеспечивает декорреляцию релеевских замираний и не изменяет статистические свойства собственных шумов.

Корреляционная матрица релеевских коэффициентов передачи в приемных антеннах является квадратной, эрмитовой, положительно определенной и может быть представлена в виде разложения в базисе собственных векторов [51]:

, (3.2.12)

где U – (N´N)-размерная унитарная матрица, состоящая из N ортонормированных собственных векторов U_i матрицы , L - диагональная матрица положительных собственных чисел l_i этой матрицы.

Перейдем от вектора входного процесса X в (3.1.1) к вектору Y, равному . Нетрудно получить, что

. (3.2.13)

Вектор преобразованных коэффициентов передачи состоит из случайных некоррелированных релеевских величин. В самом деле, с учетом (3.2.12) матрица . Среднее значение i-го случайного коэффициента является нулевым, а его дисперсия равна собственному числу l_i матрицы .

Статистические свойства собственных шумов не изменяются в результате такого преобразования, так как корреляционная матрица . Поэтому среднее ОСШ для i-ой приемной антенны будет равно . Далее для вычисления вероятности битовой ошибки необходимо воспользоваться выражением (3.2.9), которое принимает вид

. (3.2.14)

где коэффициенты m_p в соответствие с (3.1.12) равны

. (3.2.15)

Для иллюстрации полученных результатов рассмотрим случай двух приемных антенн, и предположим, что замирания сигналов имеют одинаковую дисперсию и коррелированны с произвольным действительным коэффициентом корреляции r. Тогда корреляционная матрица будет равна

. (3.2.16)

Собственные числа этой матрицы , .

Из (3.2.14) и (3.2.15) можно получить, что

. (3.2.17)

Отсюда для вероятности битовой ошибки при одинаковом среднем ОСШ r₀ в каждой антенне будем иметь

. (3.2.18)

Результаты расчета вероятности ошибки при различных коэффициентах корреляции r приведены на рис. 3.7. Видно, что при увеличении r, мощность необходимая для обеспечения заданной вероятности ошибки, возрастает. Однако это возрастание является неравномерным. В самом деле, зафиксируем вероятность на уровне 0.01. Тогда увеличение мощности составляет 0.5; 3 и 6 дБ при коэффициенте корреляции равном 0.5; 0.9 и 1.0, соответственно. То есть увеличение коэффициента корреляции от 0 до 0.9 эквивалентно с точки зрения энергетических потерь увеличению коэффициента корреляции от 0.9 до 1.0. Таким образом, можно считать, что корреляция сигналов не приводит к заметным потерям, если коэффициент корреляции не превышает »0.7.

Рис. 3.7. Вероятность ошибки в зависимости от ОСШ для разного коэффициента
корреляции