Когерентный прием сигналов

Если передается символ d единичной амплитуды, то вектор принятых сигналов равен

, (3.1.1)

где P₀ – средняя мощность передатчика, – вектор собственных шумов приемных устройств мощностью . Вследствие некоррелированности шумов их корреляционная матрица , где I – единичная матрица, (.)^H – эрмитовое сопряжение. В (3.1.1) предполагается, что дисперсия коэффициентов передачи h_p равна единице (<|h_p|²>=1).

Принятые сигналы суммируются с комплексными весовыми коэффициентами, которые объединим в весовой вектор . Тогда результирующий сигнал равен

. (3.1.2)

Найдем выходное ОСШ. Нетрудно получить из (3.1.2), что

, (3.1.3)

где - среднее ОСШ на символ. Обычно после весового суммирования приемных антенн используется согласованный фильтр. При этом все выражения остаются справедливыми, если в них считать .

ОСШ не зависит от нормировки весового вектора W. Удобно нормировать вектор W так, что W^HW=1. В результате для ОСШ будем иметь

. (3.1.4)

Из (3.1.4) следует, что для обеспечения максимума ОСШ вектор W должен быть параллелен вектору H коэффициентов передачи, так как скалярное произведение векторов W и H будет наибольшим, когда они параллельны друг другу: W=aH, где из условия нормировки весового вектора . В этом случае обеспечивается согласованный (когерентный) прием сигналов и выходное ОСШ будет равно

. (3.1.5)

Отсюда следует, что при оптимальном весовом суммировании выходное ОСШ представляет собой сумму ОСШ в каждой антенне.

Плотность вероятности ОСШ r зависит от статистических свойств замираний сигналов. Рассмотрим некоторые случаи.

1. Некоррелированные релеевские замирания сигналов одинаковой мощности. Если дисперсия канальных коэффициентов являются одинаковыми во всех антеннах (ветвях разнесения), то из (3.1.5) следует, что ОСШ r имеет хи-квадрат распределение с 2N степенями свободы вида [44]:

. (3.1.6)

На рис. 3.2 показано хи-квадрат распределение для разного числа N приемных антенн (N=1, 2 и 4) при r₀=1 (сплошные кривые). Среднее ОСШ равно . Поэтому с ростом N соответствующие кривые сдвигаются вправо. Более того, видно, что вероятность глубоких замираний сигналов (малых ОСШ) значительно уменьшается.

Рис. 3.2. Плотность вероятности ОСШ для разного числа антенн при когерентном суммировании антенн (сплошные кривые) и отборе «лучшей» антенны (пунктирные кривые)

2. Некоррелированные релеевские замирания сигналов разной мощности. Рассмотрим случай, когда замирания сигналов в разных антеннах являются некоррелированными и имеют разную дисперсию. Теперь закон распределения ОСШ в (3.1.5) является более сложным, чем хи-квадрат распределение (3.1.6). Найдем его с помощью характеристических функций.

Характеристическая функция ОСШ r c плотностью вероятности f(r) определяется Фурье преобразованием от f(r) [44]

. (3.1.7)

Если имеется одна антенна (N=1), то подставляя (2.4.3) в (3.1.7) и выполняя интегрирование, получим, что

. (3.1.8)

При некоррелированных замираниях сигналов характеристическая функция для результирующего ОСШ будет равна произведению характеристических функций для ОСШ в отдельных антеннах [44]. Обозначим - ОСШ в p-ой антенне. Тогда будем иметь, что

. (3.1.9)

Искомая плотность вероятности ОСШ в (3.1.5) выражается в виде преобразования Фурье от характеристической функции. В результате придем к следующему выражению:

. (3.1.10)

Произведение в (3.1.9) можно преобразовать в сумму [43], то есть

, (3.1.11)

где коэффициенты m_p равны

. (3.1.12)

Подставляя (3.1.11) в (3.1.10) и выполняя интегрирование, получим, что плотность вероятности выходного ОСШ имеет вид

. (3.1.13)

Сравнивая (3.1.13) с (2.4.3) видим, что функция в (3.1.13) представляет собой линейную комбинацию с коэффициентами m_p соответствующих функций для каждой приемной антенны.

3. Коррелированные релеевские замирания сигналов одинаковой мощности. Если коэффициенты передачи для всех антенн флуктуируют одинаково («дружные» флуктуации), то можно считать, что эти коэффициенты не зависят от номера антенны и записать, что |h_p|=|h| и <|h_p|²>=1 (p=1,2,…, N). Тогда, из (3.1.5) нетрудно найти для ОСШ выражение

. (3.1.14)

Из сравнения (3.1.14) с (2.4.2) следует, что случай полностью коррелированных замираний идентичен случаю приема на одну антенну, но имеющую в N раз большее усиление. Поэтому ОСШ r будет иметь экспоненциальную плотность вероятности вида (2.4.3), но с параметром Nr₀, которую можно записать как

. (3.1.15)