Поток вектора напряженности. Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля в вакууме

Рассмотрим однородное электростатическое поле. Выделим в этом поле небольшую площадку dS (Рис.8.5).

Величина называется элементарным потоком векторанапряженностичерез площадку dS.

Здесь =dS - вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направлением нормали к площадке.

Единица потока вектора напряженности электростатического поля - 1 В^.м.

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора сквозь эту поверхность

(8.5.1.)

где интеграл берется по замкнутой поверхности S. Поток вектора является алгебраической величиной: зависит не только от конфигурации поля , но и от выбора направления . Для замкнутых поверхностей за положительное направление нормали принимается внешняя нормаль, т.е. нормаль, направленная наружу области, охватываемой поверхностью.

В электростатике графически электростатическое поле изображают с помощью линий напряженности (см.п.8.2.).Чтобы с помощью линий напряженности можно было характеризовать не только направление, но и значение напряженности электростатического поля, условились проводить их с определенной густотой: число линий напряженности, пронизывающих единицу площади поверхности, перпендикулярную линиям напряженности, должно быть равно модулю вектора .

Тогда число линий напряженности, пронизывающих элементарную площадку dS, нормаль которойобразует угол с вектором , равно и, следовательно, численно равно потоку вектора напряженности через площадку.

Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов с помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно значительно упростить, используя выведенную немецким ученым К. Гауссом теорему, определяющую поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность.

В соответствии с формулой (8.5.1.) поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса r, охватывающую точечный заряд q, находящийся в ее центре (рис.8.6), равен

Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы. Действительно, если окружить заряд (рис.8.6) произвольной замкнутой поверхностью, то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность.

Таким образом, для поверхности любой формы, если она замкнута и заключает в себя точечный заряд q, поток вектора будет равен , т.е.

(8.5.2.)

Знак потока совпадает со знаком заряда q.

Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружающей n зарядов. В соответствии с принципом суперпозиции напряженность поля, создаваемого всеми зарядами, равна сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: . Поэтому

Согласно (8.5.2.), каждый из интегралов, стоящий под знаком суммы, равен . Следовательно,

(8.5.3.)

Формула (8.5.3.) выражает теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме:

Поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на .

Эта теорема выведена математически для векторного поля любой природы русским математиком М.В. Остроградским, а затем независимо от него применительно к электростатическому полю - К.Гауссом.

Применение теоремы Остроградского - Гаусса к расчету электрических полей. Поле равномерно заряженной непроводящей сферы, бесконечной равномерно заряженной пластины, двух параллельных пластин и прямой равномерно заряженной нити.

Теорема Остроградского - Гаусса облегчает расчет электрических полей.