Лабораторная работа №3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

1. Решить СЛАУ методами Якоби и Гаусса–Зейделя с заданной точностью: e=0,01. Проанализировать результаты решения (в зависимости от других значений e.)

2. Сравнить результаты решения, полученные двумя методами, сделать соответствующие выводы.

Для расчета использовать СЛАУ , заданную в соответствием с вариантом.

Указания к выполнению работы

1. Привести полученную систему к нормальному виду .

2. Решить систему методами Якоби и Гаусса–Зейделя, используя приложение Excel.

3. Проследить сходимость итерационного процесса, построив графики изменения каждой компоненты решения в зависимости от номера итерации (см. рис.7).

Метод Якоби (метод простых итераций)

Задана система линейных алгебраических уравнений

.

Или в матричной форме . Полагая, что диагональные коэффициенты

a_ii ¹ 0 (i = 1, 2, … n) ,

разрешим первое уравнение системы относительно х₁, второе – относительно х₂ и т.д. Тогда получим эквивалентную систему

где , и (i, j = 1, 2, … n).

Введя матрицы и , исходную систему можно записать в матричной форме

,

а любое (k + 1) приближение вычисляется по формуле

.

За начальное приближение решения можно взять столбец свободных членов т.е.

Строим последовательность приближений (итераций)

.

Если эта последовательность имеет предел , то он является точным решением системы. На практике итерационный процесс продолжается до тех пор, пока два соседних приближения не станут достаточно близкими.

Критерий близости двух приближений может быть определен следующим образом:

Если условие выполнено, то итерационный процесс прекращается и за приближенное решение системы с заданной точностью e принимается последнее найденное приближение, т.е.

.

Метод Гаусса-Зейделя

Метод Гаусса-Зейделя представляет собой модификацию метода Якоби. Основная идеяметода заключается в том, что при вычислении (k+1)-ой итерации неизвестное вычисляется с учетом уже найденных значений

.

Проиллюстрируем метод для n=3. Пусть система линейных алгебраических уравнений уже приведена к нормальному виду:

Выбираем произвольное начальное приближение и подставляем в первое уравнение системы

Полученное первое приближение подставляем во второе уравнение системы (2.8)

Используя , находим из третьего уравнения

Этим заканчивается построение первой итерации

Используя значения первого приближения можно таким же способом построить следующие итерации. Итерацию с номером (k+1) можно представить следующим образом

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока два соседних приближения не станут достаточно близкими. Критерий близости может быть задан так же, как и в методе Якоби.