Теоретические сведения. Вычислительная математика

Вычислительная математика

Методические указания

по выполнению лабораторных работ

 

 

ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ ОТЧЕТА

 

На титульном листе указываются: вуз, кафедра, тема, автор, научный руководитель, город, год написания.

 

ФГОБУ ВПО «Пермский национальный исследовательский политехнический университет» Березниковский филиал   Кафедра «Общенаучные дисциплины»   Тема отчета   Отчет студента (Фамилия, инициалы) группы Руководитель: Захарова Н.Я.     Березники 2015

В отчете указывается номер лабораторной работы, формулируется задание, подробно описывается его решение с приложением необходимых скриншотов.

Лабораторная работа №1

Тема. Решение уравнений.

Задание 1. Отделить корни графически и уточнить любой корень с точностью до 0,001 методом деления пополам.

№ 1. ; (кроме х=0) № 2. ;

№ 3. ; № 4. ;

№ 5. ; № 6. ;

№ 7. № 8.

№ 9. (кроме х=0) № 10.

№ 11. № 12.

№ 13. № 14.

№ 15. № 16. (кроме х=0)

№ 17. № 18.

№ 19. № 20.

Образец выполнения задания.Найти один корень . Перепишем уравнение в виде и построим графики левой и правой частей в Excel, изменяя х от 0,5 до 3 с шагом 0,5. В первой строке вводим значения переменной, во второй и третьей – вычисляем значения функций. Используем инструмент «вставка – точечная» для построения графиков.

Рис. 1

Уточним корень на отрезке [1;2]. Для этого составим таблицу:

 

Таблица1

Длина последнего отрезка меньше 0,001, поэтому корень приближенно равен его середине, то есть

 

Задание 2. Отделить корни графически и уточнить с точностью до 0,001 больший корень обоих уравнений методами хорд и Ньютона.

№ 1. 1) 2)

№ 2. 1) 2)

№ 3. 1) 2)

№ 4. 1) 2)

№ 5. 1) 2)

№ 6.1) 2)

№ 7. 1) 2)

№ 8. 1) 2)

№ 9. 1) 2)

№ 10. 1) 2)

№ 11. 1) 2)

№ 12. 1) 2)

№ 13. 1) 2)

№ 14. 1) 2)

№ 15. 1) 2)

№ 16. 1) 2)

№ 17. 1) 2)

№ 18. 1) 2)

№ 19. 1) 2)

№ 20. 1) 2)

Образец выполнения задания.Найти один корень .

Перепишем уравнение в виде и построим графики левой и правой частей в Excel, изменяя х от -2 до 2 с шагом 0,5. В первой строке вводим значения переменной, во второй и третьей – вычисляем значения функций. Используем инструмент «вставка – точечная» для построения графиков.

Рис. 2

Уточним корень на отрезке [0;1]. Определим начальную точку . В нашем случае , тогда , на исследуемом отрезке. Так как , , то , в ней совпадают знаки функции и второй производной.

Метод хорд.В этом случае , составим вспомогательную таблицу

Таблица2

Так как |x₅ – x₄| = 0,0001 <0,001, то можно принять с точностью .

Метод касательных.Для этого метода справедливо , начальная точка выбирается аналогично методу хорд, поэтому удобно воспользоваться следующей таблицей.

Таблица 3

Так как |x₃ – x₂| = 0,0004 <0,001, то можно принять с точностью .

 

Лабораторная работа №2

Тема. Численные методы решения задач линейной алгебры,

Метод Гаусса

1. Решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) , вычислить определитель и обратную матрицу для матрицы А методом исключения Гаусса. Проверить полученное решение СЛАУ, используя надстройку Excel поиск решения применительно к исходной системе , и найти обратную матрицу при помощи функции МОБР.

2. Сделать выводы о корректности задачи (существование, единственность, устойчивость решения относительно исходных данных).

1). 3,5x1 - 1,7x2 + 2,8x3 = 1,7, 5,7x1 + 3,3x2 + 1,3x3 = 2,1, 2,1x1 + 5,8x2 + 2,8x3 = 0,8.	2). 2,1x1 + 4,4x2 + 1,8x3 = 1,1, 0,7x1 - 2,8x2 + 3,9x3 = 0,7, 4,2x1 - 1,7x2 + 1,3x3 = 2,8.
3). 3,1x1 + 2,8x2 + 1,9x3 = 0, 1,9x1 + 3,1x2 + 2,1x3 = 2,1, 7,5x1 + 3,8x2 + 4,8x3 = 5,6.	4). 4,1x1 + 5,7x2 + 1,2x3 = 5,8, 0,8x1 + 1,1x2 - 2,8x3 = 6,7, 9,1x1 - 3,6x2 + 2,8x3 = 9,8.
5). 2,7x1 - 0,8x2 + 4,1x3 = 3,2, 1,1x1 + 3,7x2 + 1,8x3 = 5,7, 3,3x1 + 2,1x2 - 2,8x3 = 0,8.	6). 1,9x1 + 1,1x2 + 3,8x3 = 7,8, 7,6x1 + 5,8x2 - 4,7x3 = 10,1, 1,8x1 - 4,1x2 + 2,1x3 = 9,7.
7). 3,2x1 - 8,5x2 + 3,7x3 = 6,5, 0,5x1 + 0,34x2 +3,7x3 = -0,24, 4,6x1 + 2,3x2 - 1,5x3 = 4,3.	8). 4,2x1 + 6,7x2 - 2,3x3 = 2,7, 5,4x1 - 2,3x2 + 1,4x3 = - 3,5, 3,4x1 + 2,4x2 + 7,4x3 = 1,9.
9). 1,5x1 + 4,5x2 + 1,3x3 = -1,7, 2,7x1 - 3,6x2 + 6,9x3 = 0,4, 6,6x1 + 1,8x2 - 4,7x3 = 3,8.	10). 3,4x1 - 3,6x2 - 7,7x3 = -2,4, 5,6x1 + 2,7x2 - 1,7x3 = 1,9, -3,8x1 + 1,3x2 +3,7x3 = 1,2.
11). -2,7x1 + 0,9x2 - 1,5x3 = 3,5, 3,5x1 - 1,8x2 + 6,7x3 = 2,6, 5,1x1 + 2,7x2 + 1,4x3 = -0,1.	12). 0,8x1 + 7,4x2 - 0,5x3 = 6,4. 3,1x1 - 0,6x2 - 5,3x3 = -1,5, 4,5x1 - 2,5x2 + 1,4x3 = 2,5.
13). 5,4x1 - 6,2x2 - 0,5x3 = 0,52, 3,4x1 + 2,3x2 + 0,8x3 = -0,8, 2,4x1 - 1,1x2 + 3,8x3 = 1,8.	14). 3,8x1 + 6,7x2 + 2,2x3 = 5,2, 6,4x1 + 1,3x2 - 2,7x3 = 3,8, -2,4x1 - 4,5x2 + 3,5x3 = -0,6.
15). -3,3x1 + 1,1x2 + 5,8x3 = 2,3, 7,8x1 + 5,3x2 + 1,8x3 = 1,8, 4,5x1 + 3,3x2 - 3,8x3 = 3,4.	16). 3,8x1 + 7,1x2 - 2,3x3 = 4,8, -2,1x1 + 3,9x2 - 6,8x3 = 3,3, 8,8x1 + 1,1x2 - 2,1x3 = 5,8.
17). 1,7x1 - 2,2x2 - 4,0x3 = 1,8, 2,1x1 + 1,9x2 - 2,3x3 = 2,8, 4,2x1 + 1,9x2 - 0,1x3 = 5,1.	18). 2,8x1 + 3,8x2 – 8,2x3 = 4,5, 2,5x1 - 7,8x2 + 3,3x3 = 7,1, 6,5x1 - 1,1x2 + 4,8x3 = 6,3.
19). 2,3x1 + 0,7x2 + 4,2x3 = 5,8, -2,7x1 + 2,3x2 - 2,9x3 = 6,1, 9,1x1 + 4,8x2 - 5,0x3 = 7,0.	20) . 3,1x1 + 6,8x2 + 2,1x3 = 7,0, -5,0x1 - 4,8x2 + 5,3x3 = 6,1, 8,2x1 + 1,8x2 + 5,1x3 = 5,8.

Теоретические сведения

1.Система линейных алгебраических уравнений в общем случае имеет вид:

,

 

В некоторых случаях эту систему удобнее записывать в матричной форме:

,

где А - матрица системы, - вектор решения, - вектор свободных членов.

 

 

2. Система (1.1-1.2) имеет единственное решение, если матрица А является невырожденной (detA¹0).

3. Матрицы А и В являются исходными данными и во многих случаях задаются приближенно. Встает вопрос, как погрешности исходных данных влияют на точность решения.

Говорят, задача плохо обусловлена, если она чувствительна к малым изменениям входящих в нее исходных данных. В противном случае – хорошо обусловлена.

Обусловленность является качественной характеристикой, хотя мы будем стараться оценить ее и количественно, используя величину меры обусловленности

.

4. Величина называется нормой матрицы и определяется по одной из 3-х формул:

;

;

.

6.Система (1.1-1.2) является хорошо обусловленной, а ее решение – устойчивым, если мера обусловленности близка единице.

7. Задача решения СЛАУ является корректной, если решение существует и единственно (detA¹0) и устойчиво относительно исходных данных (А и В), т.е. малым изменениям исходных данных соответствуют малые изменения решения задачи.

8. Метод Гаусса (метод последовательного исключения). Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных изсистемы уравнений. Процесс состоит из двух этапов: прямого и обратного ходов. В результате прямого хода система приводится к треугольному виду, а при выполнении обратного хода вычисляются все неизвестные.

Образец выполнения задания.Найти решение системы линейных алгебраических уравнений

используя алгоритм метода Гаусса.

Введем расширенную матрицу системы, как показано на рис.3 в ячейки А3:D5.

Первый этап, приведение матрицы системы к треугольной.

1. Поделим элементы первой строки на а_{11 .}Для этого в ячейку А7 введем формулу А7=А3/A$3$ и скопируем ее вправо до конца строки.

2. Умножим элементы первой строки на (-а₂₁ ) и прибавим ко 2-ой строке. Для этого введем формулу А8=А7(-А$4$)+А4 и скопируем ее вправо до конца строки.

3. Умножим элементы первой строки на (-а₃₁ ) и прибавим к 3-ей строке. Для этого введем формулу А9=А7(-А$5$)+А5 и скопируем ее вправо до конца строки. Таким образом исключили неизвестное х₁ из 2-го и 3-го уравнений системы (смотри 1-й шаг рис.3).

4. Осталось исключить неизвестное х₂ из 3-го уравнения системы. Для этого реализуем описанный выше алгоритм для 2-ой и3-ей строк (смотри 2-й шаг рис.3).

Рис. 3

 

На этом первый этап метода Гаусса, закончен, матрица системы приведена к треугольной.

Второй этап. Здесь последовательно найдем неизвестные, начиная с последней строки. Для этого в ячейки G2:G4 запишем формулы:

G4=D13/C13 (для вычисления x₃);

G3=D12-C12∙G4 (для вычисления x₂);

G2=D11-C11∙G4-B11∙G3 (для вычисления x₁).

Найдем решение исходной системы, используя надстройку Поиск решения. Заготовим таблицу, как показано на рис.4.

Рис. 4

Заготовим ячейки А7:С7, где будет сформировано решение системы (х₁, х₂, х₃). Первоначально они остаются пустыми, т.е. равными нулю. Однако для контроля правильности вводимых далее формул, удобно ввести в эти ячейки какие-либо значения, например единицы. Эти значения можно рассматривать как нулевое приближение решения системы, .

1. Введем коэффициенты системы (матрицу А) в ячейки А3:С5.

2. В столбец D введем выражения для вычисления левых частей исходной системы. Для этого в ячейке D3 введем и скопируем вниз до конца таблицы формулу: D3=СУММПРОИЗВ (A3:C3;$A$7:$C$7).

3. В столбец Е запишем значения правых частей системы .

4. Будет не лишним проверить правильность вычислений для случая .

5. Зададим команду Данные\Поиск решения. В окне Параметры поиска решения (рис.5) в поле Изменяя ячейки переменных укажем блок $А$7:$С$7, а в поле Ограничения – $D$3:$D$5=$E$3:$E$5. Для этого надо щелкнуть на кнопке Добавить и ввести эти ограничения.

Рис. 5

6. Щелкнем на кнопке Найти решение.

Полученное решение системы х₁=1; х₂=–1 х₃=2 записано в ячейках А7:С7, рис.4.

 

Для нахождения обратной матрицы, слева к исходной записываем единичную и аналогичными преобразованиями приводим левую часть к единичной матрице.

Для проверки используем функцию МОБР, для вывода всей обратной матрицы выделяем матрицу нужной размерности и нажимаем F2, Ctrl+Shift+Enter.

Находим нормы прямой и обратной матрицы, а также число обусловленности.

Для проверки устойчивости придаем правым частям небольшие возмущения и находим решение системы при помощи надстройки Поиск решения.