Интервальная оценка вероятности биноминального распределения по относительной частоте

Найдем доверительный интервал для оценки вероятности по относительной частоте, используя формулу:

Если n достаточно велико и р не очень близка к нулю и единице, то можно считать, что относительная частота распределена приближенно по нормальному закону, причем М(W)= р. Заменив Х на относительную частоту , математическое ожидание - на вероятность, получим равенство:

Приступим к построению доверительного интервала (р₁, р₂), который с надежностью  покрывает оцениваемый параметр р Потребуем, чтобы с надежностью g выполнялось соотношение указанное выше равенство:

Заменив

,

получим:

Таким образом, с надежностью g выполняется неравенство (чтобы получить рабочую формулу, случайную величину W заменим неслучайной наблюдаемой относительной частотой w и подставим 1- р вместо q):

Учитывая, что вероятность р неизвестна, решим это неравенство относительно р. Допустим, что w > р. Тогда

Обе части неравенства положительны; возведяих в квадрат, получим равносильное квадратное неравенство относительно р:

Дискриминант трехчлена положительный, поэтому корни действительные и различные:

меньший корень

больший корень:

Замечание1: При больших значениях n , пренебрегая слагаемыми

,и

учитывая

получим приближенные формулы для границ доверительного интервала :

Пример1. Производят независимые испытания с одинаковой и неизвестной вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности с надежностью 0,95, если в 80 испытаниях событие А появилось 16 раз.

По условию n =80, m=16,  =0,95. Относительная частота

.

Из соотношения Ф(t)=0,95/2 = 0,475 по таблице находим t = 1,96. Т.к. n<100, то используем точные формулы, получим : р₁= 0,128, р₂= 0,299.

Замечание 2: Если n мало, то используем для определения концов доверительного интервала вероятности события при биноминальном распределении "Таблицу доверительных границ р₁ и р₂". Значения р₁ и р₂ находят в зависимости от n и m.

Пример. В пяти независимых испытаниях событие А произошло 3 раза. Найти с надежностью 0,95 интервальную оценку для вероятности события А в единичном испытании.

По условию задачи n=5, m=3. Имеет место схема повторных испытаний. Используя таблицу, находим доверительный интервал : 0,147<p<0,947.

Контрольные вопросы

1. Определение статистической оценки неизвестного параметра.

2. Какая оценка называется точечной?

3. Каким требованиям должны удовлетворять статистические оценки?

4. Сформулировать определения генеральной средней и генеральной дисперсии.

5. Записать выражения для вычисления выборочной средней, выборочной дисперсии и исправленной дисперсии. Какая из этих оценок не является несмещенной?

6. Методики вычисления границ доверительного интервала для оценки математического ожидания нормально распределенной СВ при известном и неизвестном .

7. Методика вычисления границ доверительного интервала для оценки среднего квадратического отклонения нормально распределенной СВ.

8. Доверительный интервал вероятности биноминального распределения по относительной частоте при больших n , при n<100.