Нормальный закон распределения. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Функция Лапласа

По определению плотность нормально распределенной случайной величины равна

Возможные значения такой величины Х могут принимать любые действительные значения -∞<Х<∞, а распределение зависит от двух параметров . -∞<m<∞ и -∞<σ<∞.

Таким образом, график функции f(х) будет таким:

При изменении m кривая f(x) скользит вдоль оси абсцисс, не меняя своей формы. При изменении σ кривая меняет свою форму: если σ увеличивается, то кривая становится ниже и шире и наоборот.

Если m=0 и σ=1, то закон нормального распределения называется стандартным. В этом случае

Если случайная величина Храспределена по нормальному закону с параметрами m и σ , то этот факт записывают так:.

Вычислим математическое ожидание случайной величины

Таким образом, параметр m - это математическое ожидание случайной величины X.

Вычислим теперь дисперсию

где мы использовали то, что по правилу Лопиталя

Таким образом, параметр σ - это среднеквадратическое отклонение, поскольку σ²- это дисперсия.

Мода и медиана нормального распределения совпадает с математическим ожиданием, т.к. максимум f(x) достигается при x=m и

где

функция распределения закона которая имеет график, представленный на рисунке.

Пусть Вычислим Р(а<Х<b) - вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. По свойству плотности распределения имеем

где мы использовали формулу Ньютона-Лейбница для определенных интегралов, а - любая первообразная для подынтегральной функции

Любая первообразная может быть рассчитана по формуле

где С- произвольная постоянная. Это можно легко проверить диффе­ренцированием .

При С=0 мы получаем функцию Лапласа

а при С=∞ -функцию распределения стандартного нормального закона

Нетрудно получить связь между Ф*(х) и Ф(х).

Окончательно получаем

В зависимости от имеющихся у нас под руками таблиц мы воспользуемся той или иной формулой. Отметим, что пользоваться таблицами функции Лапласа удобней, так как она нечетна и мы легко - находим ее значения при отрицательном аргументе (обычно, таблицы заданы только для положительных значений аргумента). Пользоваться таблицами функции Ф*(х) в этом случае несколько неудобнее, если она задана только для положительных значений аргумента.

ПРИМЕР 1. Пусть Найдем вероятность того, что Х примет значение из интервала ]0;3[.

По таблице функции Лапласа получаем

По таблице функции распределения стандартного нормального закона получаем, используя ее связь с функцией Лапласа:

В этом примере мы вывели полезную формулу

Ф^*(-х)=1-Ф^*(х),

которую легко пояс­нить следующим рисунком.

Найдем вероятность попадания нормальной случайной величины в интервал ]m-l,m+l[, симметричный относительно математического ожидания:

При различных l получаем

Как мы видим, хотя теоретически возможные значения Х могут быть любые, но практически все значения попадают в интервал ]m-3σ,m+3σ[. Этот факт обычно называют правилом «трех сигм». При нормальном распределении из 10000 измерений только 27 имеют «законное» право выйти из этого интервала ( событие маловероятное и им обычно пренебрегают). Поэтому можно считать, что все воз­можные значения нормальной случайной величины находятся в этом интервале.