Очевидно, что сумма всех вероятностей

так как это есть сумма вероятностей полной группы несовместных событий. Обозначение (i,j) означает суммирование по всем возможным парам индексов. Фактически это двойная сумма (или двойной числовой ряд в случае счетных множеств возможных значений).

ПРИМЕР Урна содержит 4 шара: 2 черных, 1 белый и 1 синий. Из урны достается 2 шара. При этом Х - число белых, а Y - число черных шаров в выборке. Составим для двумерной величины -{Х, Y} двумерный ряд распределения.

В нашем примере Х может принимать значения из множества {0,1}, а Y - множества {0, 1, 2}. Соответствующие вероятности вычисляем, пользуясь классической формулой для схемы случаев:

Поэтому получаем следующий двумерный ряд распределения

Определим теперь функцию совместного распределения двумерной случайной величины {X,Y} формулой

F(x,y)=P(X<x;Y<y).

Геометрически это означает вероятность попадания двумерной случайной величины (случайной точки) в заштрихованную на рис. 18 область плоскости.

Перечислим без доказательства некоторые свойства функции распределения:

1. 0≤F(x,y)≤1.

2. F(х,у) - является неубывающей функцией по каждому из своих аргументов (при фиксированном другом).

3. Р(х1 ≤ Х ≤ х2; у1 ≤ Y < y2) = F(х2;у2) - F(х1;у2) - F(х2; у1) + F(х1;у1).

4. F(х,у) непрерывна слева по каждому из своих аргументов

5.

Если функция распределения F(х,у) непрерывна, то соответствующая двумерная случайная величина называется непрерывной. Для таких величин, как правило, можно ввести плотность совместного распределения двумерной случайной величины по формуле

Плотность F(х,у) обладает следующими основными свойствами:

1. 1. F(х.у)≥0.

2. 2. , где G – некоторая область.

3. 3. (условие нормировки).

ПРИМЕР. Пусть область возможных значений случайной ве­личины - треугольник с границами х=0, у=0, х+у=1. Плотность распределения f(х,у)=А(х+у2). Найти значение нормировочной постоянной А и Р((Х,У) G1), где G1 - треугольник с границами х=0, у=1/2, х+у=1. Для пояснения условий задачи область возможных значений G и интересующая нас область G1 изображены на рис. 19.

Для нахождения нормировочного множителя А воспользуемся свойством нормировки 3

Отсюда получаем А=4.

Вычислим теперь вероятность попадания нашей двумерной величины в область G1 воспользовавшись свойством 2;

Если задан двумерный ряд распределения двумерной дискретной случайной величины или плотность совместного распределения не­прерывной случайной величины, то из теоремы сложения вероятностей нетрудно восстановить одномерный закон распределения каж­дой из компонент Х и Y. Для дискретных величин

Нетрудно проверить, что функции неотрицательны и выполняются условия нормировки. Решить обратную задачу не всегда возможно, а именно, зная законы распределения по отдельности случайных величин Х и Y, не всегда можно найти закон их совместного распределения. Другими словами, если мы «все» знаем по отдельности о случайных величинах Х и Y, то это не означает, что мы знаем «все» о двумерной случайной величине {Х,У}. Восстановить закон распределения двумерной случайной величины по одномерным принципиально возможно только в одном случае - если Х и Y независимы.

Свойства двумерных случайных величин определяются не только индивидуальными свойствами каждой из компонент Х и Y, но и существующей между ними не совсем случайной (стохастической) зависимостью.

ПРИМЕР Пусть Х -вес, а Y - рост наудачу выбранного взрослого человека. Тогда Х(кг)≈Y(см)-100, то есть компоненты довольно сильно связаны (коррелируют) между собой.

ПРИМЕР. Пусть Х - рост взрослого человека, а Y - его возраст. Тогда эти величины практически независимы.

Случайные величины Х и Y называются независимыми, если любое событие, связанное со случайной величиной X, независимо от любого события, связанного с Y.

Из теоремы умножения вероятностей независимых событий получаем, что для независимых случайных величин выполняются следующие свойства для функции и плотности совместного распре­деления вероятности:

1. F(x,y)=Р( Х< х; Y < y) = P(X<x) . P(Y<у) = F1(х) . F2(у).

2. ,

то есть соответствующие функции распадаются на произведение одномерных функций. Это и доказывает утверждение о возможности восстановления двумерного распределения по одномерным для независимых случайных величин: нужно просто перемножить их функции или плотности распределения.

ПРИМЕР. Если независимые случайные величины распределены по нормальному закону (каждая со своими значениями параметров), то есть плотности имеют вид

;

то плотность их совместного распределения будет