Пример решения задачи 7

Схема балки показана на рисунке 19. Исходные данные: q = 50 кН/м; a = 0,5 м; M = 1,5qa².

Рисунок 19 – Заданная система

Решение .

Заданная балка является один раз статически неопределимой. Раскроем статическую неопределимость методом сил. Эквивалентная система показана на рисунке 20 а.

Каноническое уравнение имеет вид

.

Для заданной балки с удаленной дополнительной связью (рисунок 20 б) строим эпюру изгибающих моментов от заданных нагрузок "M_P" (рисунок 20 в). Отдельно построим эпюру изгибающих моментов от единичной неизвестной реакции отброшенной связи "M₁" (рисунки 20 г, д).

Вычислим коэффициенты канонического уравнения, используя графоаналитический метод. Величину  определим по правилу Верещагина перемножением эпюры "M₁" самой на себя, то есть умножая площадь эпюры на ординату этой же эпюры, проходящую через её центр тяжести

.

а)

б)

в)

г)

д)

Рисунок 20

Величину  определим перемножением эпюр "M_P" и "M₁", используя на левом участке формулу Симпсона и на правом участке формулу Симпсона-Корнаухова (см. раздел «Методические указания к теоретической части курса» настоящего учебного пособия, тема 6):

.

Подставляем найденные коэффициенты в каноническое уравнение

.

Решая это уравнение, находим

.

Знак «минус» в решении указывает, что реакция  направлена противоположно выбранному на схеме направлению, то есть вниз.

Построим окончательные эпюры поперечных сил Q, изгибающих моментов М. Балка имеет два участка. Выполним последовательно два сечения, как показано на рисунке 21 а, рассматривая участки со свободного конца.

На участке 1 при 0 ≤ z₁ ≤ a имеем

,

.

Вычислим характерные ординаты на границах участка:

, ;

, .

Поскольку поперечная сила Q на данном участке не меняет знак, то момент M не испытывает экстремума.

На участке 2 при 0 ≤ z₂ ≤ a получим

,

  .

Вычислим характерные ординаты изгибающего момента на границах участка:

, .

Эпюры Q и М показаны на рисунке 21 б, в.

а)

б)

в)

Рисунок 21

Из эпюры М видно, что опасным является сечение, принадлежащее началу второго участка, в котором величина изгибающего момента максимальна, –

кНм.

Условие прочности для балки имеет вид

.

Из условия прочности определим требуемый момент сопротивления сечения:

.

По найденной величине W_x выбираем из таблицы сортамента прокатной стали по ГОСТ 8239-89 (Приложение А) номер двутавра 14 с табличным значением момента сопротивления .

Выводы.

1. Для заданной балки методом сил раскрыта статическая неопределимость и построены эпюры Q и М. Установлено, что в опасном сечении балки кНм.

2. Из условия прочности подобрано поперечное сечение балки в виде двутавра № 14, ГОСТ 8239-89.

Задача 8