Пример решения задачи 2

Схема стержневой статически неопределимой системы показана на рисунке 6.

Размеры конструкции и величины нагрузок:

a = 1,5 м; b = c = 1,0 м; P = 50 кН.

Рисунок 6

Решение.

Данная задача один раз статически неопределима. Схема усилий, действующих в элементах конструкции, показана на рисунке 7. Для нахождения продольных усилий в стержнях N₁ и N₂ составим одно уравнение статики и одно уравнение совместности деформаций.

Рисунок 7

Уравнение равновесия, выражающее сумму моментов всех сил относительно шарнира O, имеет вид:

.            (1)

Изобразим план перемещений (рисунок 8). Узлы A и B после деформации покажем точками A₁ и B₁.

Рисунок 8

Из рисунка видно

BB₁ = Δl₂, .                   (2)

Из подобия треугольников OAA₁ и OBB₁ следует

.                                   (3)

Подставим соотношения (2) в зависимость (3) и получим уравнение совместности деформаций:

.                                (4)

Воспользуемся законом Гука и свяжем деформации стержней с усилиями в них. Учтем, что деформированное состояние второго стержня (на плане перемещений он испытывает сжатие) не соответствует направлению усилия в нем (усилие N₂ является растягивающим). Это несоответствие следует компенсировать в соответствующей формуле знаком "минус":

, .                  (5)

По условию задачи имеем

, , F₁ = F , F₂ = 2F , Е₁ = Е₂ = Е ,

тогда зависимости (5) принимают вид

, .              (6)

Перепишем уравнение (4) с учетом выражений (6)

.                       (7)

Значение  вычислим по размерам на рисунке 6:

.

Система уравнений (1) и (7) после подстановки числовых значений размеров конструкции примет вид

,

.

В результате решения получим

(кН),

(кН).

Знак "–" указывает на то, что второй стержень испытывает сжатие.

Оценим напряжения в стержнях:

, . (8)

Условием прочности для данной конструкции будет следующее

,                  (9)

где допускаемое напряжение равно

(МПа).

Вычислим из условия (9) требуемую площадь F:

(м²) = 1,97 (см²).

Окончательно принимаем:

F₁ = F = 1,97 см²,

F₂ = 2F = 2·1,97 = 3,94 см² .

Выполним энергетическую проверку. Для этого проверим выполнение условия:

.                                 (10)

Работу A вычислим по формуле

 ,                          (11)

где Δ_Р = AA₁ – перемещение точки приложения силы P (рисунок 8), которое вычислим из зависимости (2) с учетом соотношения (5):

.

Вычислим потенциальную энергию деформации по формуле:

После подстановки числовых значений имеем

(Дж),

Как видно из результатов, равенство (10) выполняется.

Выводы.

1. Из условий равновесия и совместности деформаций найдены усилия в стержнях:

N₁ = 14,5 кН, N₂ = – 63 кН.

При этом стержень 1 испытывают растяжение, стержень 2 – сжатие.

2. Из условия прочности определены площади сечений стержней:           

F₁ = 1,97 см², F₂ = 3,94 см².

3. Энергетическая проверка показала, что работа внешних сил равна потенциальной энергии деформации:

= 30 (Дж).

Задача 3