Идентификация на модельных примерах

 

Для проведения анализа рассмотрим несколько следующих примеров:

Пример с использованием апериодического звена второго порядка, [16], заданного в виде ПФ:

 

 

График переходного процесса представлен на рисунке 18.

Для идентификации использовались структуры модели, заложенные в программе (рисунок 19).

Согласно формуле (6) рассчитаем :

 

 

Проведем идентификацию, используя модель структуры 1:

 

 

Найденные программой коэффициенты:

 

 

Полученное решение представлено на рисунке 20.

В данном случае абсолютная ошибка составляет 0,08, графики абсолютной и относительной ошибок приведены на рисунке 21.

График переходного процесса, полученный после идентификации, представляет плавную кривую, совпадающую на начальном и конечном участках с исходным графиком, расхождения и максимальная ошибка приходиться на средний участок. Уменьшить ее возможно путем дальнейшего перебора узлов. Воспользуемся итерационным поиском первого узла, чтобы уменьшить ошибку первого приближения. Для этого необходимо задать интервал поиска , а так же шаг поиска.

Установленные значения: интервал поиска с шагом равным 0,05. При данных начальных условиях итерационного поиска был найден первый узел интерполяционной сетки , при котором абсолютная ошибка минимальна и равна 0,012. График зависимости ошибки от расположения первого узла интерполяционной сетки приведен на рисунке 22. Из графика видно, что минимальная ошибка лежит в области нуля. Следовательно, можно изменить интервал поиска , увеличив частоту шага. Первый узел интерполирования будет найден более точно , а абсолютная ошибка при этом составит 0,01.

Найденные программой коэффициенты:

Полученное решение представлено на рисунке 23.

Из рисунка 23 видно, что график переходного процесса, полученный после идентификации, представляет плавную кривую, практически совпадающую с исходным графиком. Графики абсолютной и относительной ошибок приведены на рисунке 24.

Исходные и полученные данные сведены в таблицу 2.

 

Таблица - 2 Данные идентификации структурой 1 для примера 1

Первое приближение			Итерационный поиск
d1р	Решение	Ошибка	dнач	dкон	Шаг	d1и	Решение	Ошибка
0,021	b0=0,99654 b1= b2=0 a0=1 a1=31,2283 a2= a3=0	0,08	0,05	10	0,05	0,05	b0=0,99654 b1= b2=0 a0=1 a1=25,3806 a2= a3=0	0,01

 

Проведем идентификацию, используя модель структуры 2:

 

 

Найденные программой коэффициенты, при

Значение коэффициента  является отрицательным, что соответствует неустойчивой системе, поэтому полученные значения коэффициентов являются неудовлетворительными. Для нахождения оптимальных значений необходимо воспользоваться итерационным поиском первого узла интерполирования, при котором ошибка будет наименьшей.

Интервал поиска с шагом равным 0,05. как и для случая первой структуры модели. При данных начальных условиях итерационного поиска первый узел интерполяционной сетки равен , при котором абсолютная ошибка минимальна и равна 0,0032. График зависимости ошибки от расположения первого узла интерполяционной сетки приведен на рисунке 25. Из графика видно, что минимальная ошибка лежит в области нуля. Следовательно, можно изменить интервал поиска , увеличив частоту шага. Первый узел интерполирования будет найден более точно , а абсолютная ошибка при этом составит 0,0031.

Найденные программой коэффициенты:

Полученное решение представлено на рисунке 26.

Из рисунка 26 видно, что график переходного процесса, полученный после идентификации, представляет плавную кривую, практически совпадающую с исходным графиком. На рисунке 27 показаны графики абсолютной и относительной ошибок.

Исходные и полученные данные сведены в таблицу 3.

 

Таблица - 3 Данные идентификации структурой 2 для примера 1

Первое приближение			Итерационный поиск
d1р	Решение	Ошибка	dнач	dкон	Шаг	d1и	Решение	Ошибка
0,021	b0=0,99654 b1= b2=0 a0=1 a1=36,9743 a2= - 273,6165 a3=0	529	0,05	10	0,05	0,05	b0=0,99654 b1= b2=0 a0=1 a1=24,6772 a2=9,5923 a3=0	0,0032

 

Проведем идентификацию, используя модель структуры 3:

 

 

Найденные программой коэффициенты, при

Значение коэффициентов  отрицательные, что соответствует неустойчивой системе. Для нахождения оптимальных значений необходимо воспользоваться итерационным поиском первого узла интерполирования, при котором ошибка будет наименьшей. Интервал поиска с шагом равным 0,05, как и для случая первой структуры модели. При данных начальных условиях итерационного поиска первый узел интерполяционной сетки равен , при котором абсолютная ошибка минимальна и равна 0,0034. График зависимости ошибки от расположения первого узла интерполяционной сетки приведен на рисунке 28. Из графика видно, что минимальная ошибка лежит в области нуля. Следовательно, можно изменить интервал поиска , увеличив частоту шага. Первый узел интерполирования будет найден более точно , а абсолютная ошибка при этом составит 0,003.

Найденные программой коэффициенты:

Полученное решение представлено на рисунке 29.

Графики абсолютной и относительной ошибок (рисунок 30).

Исходные и полученные данные сведены в таблицу 4.

 

Таблица 4 - Данные идентификации структурой 3 для примера 1

Первое приближение			Итерационный поиск
d1р	Решение	Ошибка	dнач	dкон	Шаг	d1и	Решение	Ошибка
0,021	b0=0,9965 b1= - 48,259 b2=0 a0=1 a1=-23,1388 a2= - 1229,3811 a3=0	326	0,05	10	0,05	0,1	b0=0,9965 b1=0,0168 b2=0 a0=1 a1=24,8699 a2=9,6057 a3=0	0,0034

 

Проведем идентификацию, используя модель структуры 4:

 

 

Найденные программой коэффициенты, при

Полученное решение представлено на рисунке 31.

Значение коэффициента  является отрицательным, что соответствует неустойчивой системе, поэтому полученные значения коэффициентов являются неудовлетворительными. Для нахождения оптимальных значений необходимо воспользоваться итерационным поиском первого узла интерполирования, при котором ошибка будет наименьшей.

Интервал поиска с шагом равным 0,05. как и для случая первой структуры модели. При данных начальных условиях итерационного поиска первый узел интерполяционной сетки равен , при котором абсолютная ошибка минимальна и равна 0,0033. График зависимости ошибки от расположения первого узла интерполяционной сетки приведен на рисунке 32. Из графика видно, что минимальная ошибка лежит в области нуля. Следовательно, можно изменить интервал поиска , увеличив частоту шага. Первый узел интерполирования будет найден более точно , а абсолютная ошибка при этом составит 0,0032.

Найденные программой коэффициенты:

Полученное решение представлено на рисунке 33.

Графики абсолютной и относительной ошибок (рисунок 34).

Из рисунка 33 видно, что график переходного процесса, полученный после идентификации, представляет плавную кривую, практически совпадающую с исходным графиком.

Исходные и полученные данные сведены в таблицу 5.

 

Таблица 5 - Данные идентификации структурой 4 для примера 1

Первое приближение			Итерационный поиск
d1р	Решение	Ошибка	dнач	dкон	Шаг	d1и	Решение	Ошибка
0,021	b0=0,9965 b1= b2=0 a0=1 a1=42,6727 a2= - 680,6485 a3=6460,8246	1000	0,05	10	0,05	0,05	b0=0,9965 b1= b2=0 a0=1 a1=24,88 a2=8,9382 a3=0,3752	0,0033

 

Проведем идентификацию, модель структуры 5:

 

 

Найденные программой коэффициенты, при

График переходного процесса, полученный после идентификации, представляет плавную кривую, совпадающую на начальном и среднем участках с исходным графиком, расхождения и максимальная ошибка приходиться на конечный участок. Полученное решение представлено на рисунке 35. Значение коэффициентов  отрицательные, что соответствует неустойчивой системе, поэтому полученные значения коэффициентов являются неудовлетворительными. Для нахождения оптимальных значений необходимо воспользоваться итерационным поиском первого узла интерполирования, при котором ошибка будет наименьшей.

Интервал поиска с шагом равным 0,05, как и для случая первой структуры модели. При данных начальных условиях итерационного поиска первый узел интерполяционной сетки равен , при котором абсолютная ошибка минимальна и равна 0,011. График зависимости ошибки от расположения первого узла интерполяционной сетки приведен на рисунке 35.

Из графика 35 видно, что минимальная ошибка лежит в области нуля. Следовательно, можно изменить интервал поиска , увеличив шаг. Первый узел интерполирования будет найден более точно .

Найденные программой коэффициенты:

Полученное решение представлено на рисунке 36.

Графики абсолютной и относительной ошибок (рисунок 37).

Исходные и полученные данные сведены в таблицу 6.

 

Таблица 6 - Данные идентификации структурой 5 для примера 1

Первое приближение			Итерационный поиск
d1р	Решение	Ошибка	dнач	dкон	Шаг	d1и	Решение	Ошибка
0,021	b0=0,9965 b1= - 54,4526 b2=0 a0=1 a1=-31,5851 a2= - 1299,8059 a3=-829,1875	0,1	0,05	10	0,05	0,05	b0=0,9965 b1=0,165 b2=0 a0=1 a1=25,4488 a2=3,0248 a3=0,0469	0,011

 

Проведем идентификацию, модель структуры 6:

 

 

Найденные программой коэффициенты, при

Значение коэффициентов  отрицательные, что соответствует неустойчивой системе, поэтому полученные значения коэффициентов являются неудовлетворительными. Для нахождения оптимальных значений необходимо воспользоваться итерационным поиском первого узла интерполирования, при котором ошибка будет наименьшей.

Интервал поиска с шагом равным 0,05, как и для случая первой структуры модели. При данных начальных условиях итерационного поиска первый узел интерполяционной сетки равен , при котором абсолютная ошибка минимальна и равна 0,0032. График зависимости ошибки от расположения первого узла интерполяционной сетки приведен на рисунке 38. Из графика видно, что минимальная ошибка лежит в области нуля. Следовательно, можно изменить интервал поиска , увеличив частоту шага. Первый узел интерполирования остался без изменений.

Найденные программой коэффициенты:

График переходного процесса, полученный после идентификации, представляет плавную кривую, совпадающую на начальном, среднем и конечном участках с исходным графиком идентифицируемого ОУ. Полученное решение представлено на рисунке 39.

Графики абсолютной и относительной ошибок (рисунок 40).

Исходные и полученные данные сведены в таблицу 7.

Таблица 7 - Данные идентификации структурой 6 для примера 1

Первое приближение			Итерационный поиск
d1р	Решение	Ошибка	dнач	dкон	Шаг	d1и	Решение	Ошибка
0,021	b0=0,9965 b1= - 44,5407 b2=-1004,3125 a0=1 a1=-25,5393 a2= - 1904,4562 a3=-2786,2311	0,1	0,05	10	0,05	0,05	b0=0,9965 b1=6,7578 b2=0,6217 a0=1 a1=31,5941 a2=77,8365 a3=42,6116	0,0032

 

Проанализируем полученные результаты. Для этого объединим в сводную таблицу 8 данные по итерационному поиску, для всех шести структур.

 

Таблица 8 - Сводные данные

№	Структура	Решение	Ошибка
1	b0=0,99654; b1= b2=0; a0=1; a1=25,3806; a2= a3=00,01
2	b0=0,99654; b1= b2=0; a0=1; a1=24,6772; a2=9,5923; a3=00,0032

3           b0=0,9965; b1=0,0168; b2=0; a0=1

a1=24,8699; a2=9,6057; a3=00,0034
4	b0=0,9965; b1= b2=0; a0=1; a1=24,88; a2=8,9382; a3=0,37520,0033

5           b0=0,9965; b1=0,165 b2=0; a0=1

a1=25,4488; a2=3,0248; a3=0,04690,011

6           b0=0,9965; b1=6,7578; b2=0,6217;=1; a1=31,5941; a2=77,8365;

a3=42,61160,0032

 

Поскольку идентифицируемая переходная характеристика объекта соответствует апериодическому звену второго порядка, то предпочтительно начинать перебор с ПФ первого порядка, увеличивая степень полиномов знаменателя и числителя до тех пор, пока точность восстановления временной характеристики не достигнет заданного уровня.

Из таблицы видно, что оптимальный результат получается, если проводить идентификацию структурой 2, так как в данном случае не будет избыточных коэффициентов, что снижает время работы программы.

Следующим примером для анализа выберем апериодическое звено первого порядка [16], заданного в виде ПФ:

 

 

График переходного процесса представлен на рисунке 40.

Согласно формуле (6) рассчитаем :

 

 

Проведем идентификацию, используя модель структуры 1:

 

 

Найденные программой коэффициенты:

Полученное решение представлено на рисунке 41.

График переходного процесса, полученный после идентификации, представляет плавную кривую, совпадающую на начальном и конечном участках с исходным графиком, расхождения и максимальная ошибка приходиться на средний участок. Уменьшить ее возможно путем дальнейшего перебора узлов. Графики абсолютной и относительной ошибок приведены на рисунке 42.

Установленные значения: интервал поиска с шагом равным 0,01. При данных начальных условиях итерационного поиска был найден первый узел интерполяционной сетки , при котором абсолютная ошибка минимальна и равна 0,011. График зависимости ошибки от расположения первого узла интерполяционной сетки приведен на рисунке 43.

Найденные программой коэффициенты:

Полученное решение представлено на рисунке 44.

Из рисунка 44 видно, что график переходного процесса, полученный после идентификации, представляет плавную кривую, практически совпадающую с исходным графиком. Графики абсолютной и относительной ошибок приведены на рисунке 45.

Исходные и полученные данные сведены в таблицу 9.

 

Таблица 9 - Данные идентификации структурой 1 для примера 2

Первое приближение			Итерационный поиск
d1р	Решение	Ошибка	dнач	dкон	Шаг	d1и	Решение	Ошибка
0,024	b0=0,9917 b1= b2=0 a0=1 a1=30,8555 a2= a3=0	0,07	0,01	1	0,01	0,07	b0=0,9917 b1= b2=0 a0=1 a1=24,7158 a2= a3=0	0,007

 

Проведем идентификацию, используя модель структуры 2:

 

 

Найденные программой коэффициенты, при

Значение коэффициента  является отрицательным, что соответствует неустойчивой системе, поэтому полученные значения коэффициентов являются неудовлетворительными. Для нахождения оптимальных значений необходимо воспользоваться итерационным поиском первого узла интерполирования, при котором ошибка будет наименьшей (рисунок 46). Интервал поиска с шагом равным 0,01, как и для случая первой структуры модели. При данных начальных условиях итерационного поиска первый узел интерполяционной сетки равен , при котором абсолютная ошибка минимальна и равна 0,0068.

Найденные программой коэффициенты:

Полученное решение представлено на рисунке 47.

Из рисунка 47 видно, что график переходного процесса, полученный после идентификации, представляет плавную кривую, практически совпадающую с исходным графиком. На рисунке 48 представлены графики абсолютной и относительной ошибок.

Исходные и полученные данные сведены в таблицу 10.

 

Таблица 10 - Данные идентификации структурой 2 для примера 2

Первое приближение			Итерационный поиск
d1р	Решение	Ошибка	dнач	dкон	Шаг	d1и	Решение	Ошибка
0,024	b0=0,9917 b1= b2=0 a0=1 a1=36,7713 a2= - 246,4952 a3=0	247	0,01	1	0,01	0,45	b0=0,9917 b1= b2=0 a0=1 a1=24, 2074 a2=1,9819 a3=0	0,0068

 

Для структур 3 и 4 зависимости переходной характеристики от расположения первого узла интерполирования, оптимальные графики переходного процесса, полученные после идентификации, а так же графики ошибок приведены на рисунках 49-54. В данном примере в качестве модели объекта была взята ПФ апериодического звена первого порядка, поэтому идентификация структурами 5 и 6 не проводилась, поскольку были получены оптимальные результаты при использовании структур с меньшими значениями степеней полиномов.

Данные полученные при идентификации с использованием 3 и 4 структур представлены в таблице 11.

 

Таблица 11 - Данные идентификации структурами 3 и 4 для примера 2

Структура

Решение

dнач

dкон

Шаг

d1и

Ошибка

b0=0,9917; b1=0,965; b2=0; a0=1

a1=25,6; a2=25,1887; a3=00,0110,010,080,007

b0=0,9917;

b1= b2=0; a0=1; a1=24,6477; a2=0,9107; a3=0,01260,0110,010,10,0075

 

Оптимальный результат получается, если проводить идентификацию любой из 1-4 структур, разница ошибки составляет тысячные доли, поэтому целесообразно проводить идентификацию при помощи первой структуры, так как сокращается объем вычислений, поскольку процедура идентификации происходит за два-три шага.

Следующим примером для анализа выберем звено с колебательностью [16], заданное в виде ПФ:

 

 

График переходного процесса представлен на рисунке 55.

Согласно формуле (6) рассчитаем :

 

 

Исходя из условия минимальной сложности, так как переходная характеристика имеет колебательный вид - целесообразно начинать перебор структур со второй.

Проведем идентификацию, используя модель структуры 2:

 

.

 

Найденные программой коэффициенты, при

Полученное решение представлено на рисунке 56.

В данном случае абсолютная ошибка составляет 0,3, графики абсолютной и относительной ошибок приведены на рисунке 57.

График переходного процесса, полученный после идентификации, представляет плавную кривую, совпадающую на конечном участке с исходным графиком, расхождения и максимальная ошибка приходиться на начальный и средний участок. Уменьшить ее возможно путем дальнейшего перебора узлов. Воспользуемся итерационным поиском первого узла, чтобы уменьшить ошибку первого приближения. Для этого необходимо задать интервал поиска , а так же шаг поиска.

Установленные значения: интервал поиска с шагом равным 0,05. При данных начальных условиях итерационного поиска был найден первый узел интерполяционной сетки , при котором абсолютная ошибка минимальна и равна 0,02. График зависимости ошибки от расположения первого узла интерполяционной сетки приведен на рисунке 58. Из графика видно, что минимальная ошибка лежит в области нуля. Следовательно, можно изменить интервал поиска , увеличив частоту шага. Первый узел интерполирования остался точно таким же.

Найденные программой коэффициенты:

Полученное решение представлено на рисунке 59.

Из рисунка 59 видно, что график переходного процесса, полученный после идентификации, представляет плавную кривую, практически совпадающую с исходным графиком, за исключением последнего участка. На рисунке 60 приведены графики абсолютной и относительной ошибок.

Исходные и полученные данные сведены в таблицу 12.

 

Таблица 12 - Данные идентификации структурой 2 для примера 3

Первое приближение			Итерационный поиск
d1р	Решение	Ошибка	dнач	dкон	Шаг	d1и	Решение	Ошибка
0,07	b0=0,9776 b1= b2=0 a0=1 a1=1,6511 a2=7,9277 a3=0	0,3	0,01	1	0,01	0,85	b0=0,9776 b1= b2=0 a0=1 a1=4,7418 a2=24,4665 a3=0	0,02

 

Для структур 3-6 зависимости переходной характеристики от расположения первого узла интерполирования, оптимальные графики переходного процесса, полученные после идентификации, а так же графики ошибок приведены на рисунках 61-72.

Данные полученные при идентификации с использованием 3-6 структур представлены в таблице 13.

 

Таблица 13 - Данные идентификации структурами 3-6 для примера 3

Структура

Решение

dнач

dкон

Шаг

d1и

Ошибка

b0=0,9776; b1=0,0088; b2=0; a0=1;

a1=4,6408; a2=24,8218; a3=00,0110,010,740,02

b0=0,9776;

b1= b2=0; a0=1; a1=4,7543; a2=24,4384; a3=0,01290,0110,010,740,029

b0=0,9776; b1=192,9972;=0; a0=1

a1=197,9387; a2=969,3639; a3=4825,68780,0110,010,250,004

b0=0,9776; b1=15,4538; b2=0,0081;=1; a1=20,0915; a2=100, 5456;

a3=385,8570,0110,010,250,02

 

Наименьшая ошибка получается, если проводить идентификацию структурой 5. При идентификации другими структурами разница ошибки составляет тысячные доли, следовательно, порядок структуры выбирается исходя из условия минимальной сложности, так оптимальным решением может быть вторая и третья структуры.