Идентификация объектов на основе вещественного интерполяционного метода

Получение ЧХ - важный момент, так как для корректной идентификации, необходимо для начала снять значения с идентифицируемого объекта и представить их в виде таблицы, содержащей значения времени переходного процесса и значения выходной величины.

Рассмотрим задачу формирования численных характеристик объекта на основе экспериментальных данных на примере линейного непрерывного объекта, относящегося к классу одномерных, стационарных, детерминированных. Условное представление показано на рисунке 2.

Задача идентификации заключается в получении математического описания объекта по известному входному воздействию x (t) и реакции объекта y (t). При разработке алгоритма будем полагать, что сигналы входа и выхода являются детерминированными и не сопровождаются погрешностями измерения. Они удовлетворяют условиям существования d-изображений, что позволяет найти их по формуле прямого d-преобразования

Откуда можно найти вещественную передаточную функцию

Для систем с сосредоточенными параметрами и сигналов, выражаемых через элементарные функции, вещественная передаточная функция  будет дробно-рациональной [16, 17] вида:

 (1)

В этом случае задача параметрической идентификации заключается в следующем: по известным сигналам x (t) и у (t) необходимо определить параметры,  и , при известных значениях степеней m и nполиномов числителя и знаменателя этой ПФ (1).

Схему решения задачи можно представить в виде последовательности нескольких этапов. На первом этапе осуществляется переход от функций x (t), у (t) к вещественным изображениям X (d), Y (d). Затем выполняется этап перехода к машинно-ориентированной форме представления информации об этих функциях - к форме численных характеристик. Затем следует заключительный и в тоже время наиболее важный этап решения задачи - определение искомых коэффициентов ПФ вида, оценивание результата и, если это необходимо, повышение точности решения [18].

Первый шаг преобразований базируется на связи переходной характеристики с вещественной передаточной функцией , которая имеет вид

,

На основе этого выражения найдется ЧХ :

 (2)

В условиях идентификационного эксперимента сигналы  и  обычно получают в виде последовательности значений . Поэтому для нахождения элементов  необходим переход от выражения (2) к дискретным представлениям и численным операциям, в частности, к численному интегрированию. Метод интегрирования может быть выбран практически любой, но с минимальным числом операций, поскольку алгоритм ориентирован на работу в реальном времени. При использовании метода прямоугольников получим расчетную формулу

Данную формулу можно применять для получения ЧХ объекта по экспериментальным отсчетам . Исследования [19] показали, что в первом приближении можно принять , при условии, что на интервале времени  проявятся существенные свойства объекта идентификации.

В работе [20] проведены исследования по выбору метода интегрирования и сделано заключение о некоторых преимуществах метода средних прямоугольников. Поэтому в дальнейшем будем ориентироваться на этот результат.

Следующий шаг заключается в выборе узлов интерполирования . Данный выбор оказывает влияние на точность решения задачи параметрической идентификации.

Формирование системы узлов  включает в себя две задачи - определение интервала расположения узлов и закона их распределения. В общем случае эти задачи не имеют точного решения, поэтому приходиться использовать эмпирические сведения и рекомендации [12]:

Интервал  находится итерационным путем. Сначала по предлагаемым формулам вычисляется узел

. (3)

В отношении закона распределения узлов также имеются рекомендация - использовать равномерное расположение узлов, которое обеспечивает приемлемую точность и простоту решения задачи

 (4)

Для равномерной сетки расположения узлов удобно пользоваться выражениями (3) и (4), хотя выбор лучшего, в смысле удовлетворения заданной точности, закона распределения узлов является нетривиальной задачей и в ряде случаев (объекты с распределенными параметрами, синтез регуляторов, компенсаторов и др.) приходится отступать от указанных рекомендаций [1].

Далее необходимо получить коэффициенты передаточной функции по найденной ЧХ. Эта процедура достаточно хорошо разработана в [21]. Следуя имеющимся алгоритмам, составим СЛАУ вида

,

В левой части СЛАУ - найденные элементы ЧХ. В правой части содержатся известные узлы интерполирования d _i. Неизвестными остаются лишь коэффициенты передаточной функции объекта идентификации  и , которые входят в СЛАУ. Можно показать, что подобные системы имеют решение и оно единственно при выполнении несложных условий [11]. Для решения системы можно использовать стандартные методы. Найденные таким образом значения  являются коэффициентами вещественной передаточной функции, что означает получение модели объекта в виде аналитического выражения.

После нахождения математической модели объекта необходимо оценить насколько близко полученная модель отражает реальные свойства объекта. Поэтому проводится проверка точности результата.

Оценку полученного на основе ВИМ решения задачи можно осуществлять: в вещественной области и во временной области. Первый вариант может давать удовлетворительные результаты в области изображений, тогда как в области времени результаты моделирования и экспериментальной переходной характеристики могут быть далеки друг от друга. Из критериев в области времени можно отметить широко используемый критерий среднеквадратичного отклонения (СКО) и минимаксный критерий. Однако СКО обладает существенным недостатком, который заключается в том, что при общей удовлетворительной оценке по этому критерию могут иметь место значительные локальные отклонения на промежутках переходных характеристик. В случае, когда эти отклонения вызваны случайной помехой, это дает положительный эффект, в случае, когда эти отклонения отражают особенности объекта управления, теряется информация об этих свойствах.

В общем случае считается предпочтительным оценивать близость функций по критерию абсолютного максимального отклонения

 (5)

где - точная переходная характеристика и ее модельное представление.

Если величина погрешности  оказывается меньше заданной , то задача считается решенной. Если данное условие не выполняется, то необходимо изменить узлы интерполирования, если же и это не улучшает степень приближения модели и реального объекта, то необходимо увеличить степень передаточной функции или поменять ее.

Еще одним достоинством данного критерия является возможность его использования в тех задачах идентификации, когда точное решение вообще не существует. При этом речь идет в первую очередь не о влиянии погрешности вычислений, но о классе задач, в которых эта особенность является принципиальной [12].

Выше были приведены основные этапы параметрической идентификации средством ВИМ. При такой идентификации считают, что структура объекта известна, определению подлежат только коэффициенты принятой модели. В случае описания объектов в форме ПФ в качестве параметров, характеризующих структурные особенности модели объекта, выступают степени n и m полиномов знаменателя числителя. Как показали исследования, указанный путь поиска математических моделей объектов является эффективным не только по достигаемой точности, но и объему вычислительных операций [20-22].

В работе [23] предлагается идентифицировать структуру передаточной функции методом направленного перебора. На начальном этапе порядок модели объекта выбирается исходя из условия минимальной сложности. Так, если переходная характеристика объекта носит апериодический характер, то предпочтительно выбрать ПФ первого порядка; если переходная характеристика имеет колебательный вид - целесообразно принять ПФ второго порядка. Затем алгоритм идентификации структуры ПФ сводится к увеличению степеней полиномов знаменателя и числителя, которые наращиваются до тех пор, пока точность восстановления временной характеристики не достигнет заданного уровня [12]. Данный подход эффективен, так как сокращается объем вычислений, поскольку уменьшается количество перебираемых вариантов. В разработанной программе учтено данное достоинство направленного перебора.