Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией.

Теорема 5. Если функция f(х) имеем предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции a (х), т.е. если , то f(х) = А + a (х).

Теорема 6 (обратная). Если функцию f(х) можно представить в виде суммы числа А и бесконечно малой функции a (х), то число А является

Пример. Доказать, что .

° Решение: Функцию (5 + х) можно представить в виде суммы числа 7 и б.м.ф. (х – 2) (при х → 2), т.е. выполнено равенство 5 + х = 7 + (х – 2). Следовательно, по теореме 6 получаем . ·

 Основные теоремы о пределах.

Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функции. Формулировка и доказательство теорем для случаев, когда х → х₀ и х → ∞, аналогичны. В приводимых теоремах будем считать, что пределы ,  существуют.

Теорема 7. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов

Теорема справедлива для алгебраический суммы любого конечного числа функций.

Следствие 3. Функция может иметь только один предел при х → х₀.

Теорема 8. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

Отметим, что теорема справедлива для произведения любого конечного числа функций.

Следствие 4. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Следствие 5. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: . В частности, .

Теорема 9. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю

.

Пример . Вычислить .

° Решение:

. ·

 Признаки существования пределов.

Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например, функция у = sin х при х → ∞ предела не имеет. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедиться в существовании предела функции. В таких случаях пользуются признаками существования предела.

Теорема 10 (о пределе промежуточной функции). Если функция f (х) заключена между двумя функциями φ(х) и g (х), стремящихся к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т.е. если

, , то .

Теорема 11 (о пределе монотонной функции). Если функция f (х) монотонна и ограничена при х < х₀ или при х > х₀, то существует ее левый предел  или ее правый предел .

 Замечательные пределы.

Первый замечательный предел.

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел

,                                            

называемый первым замечательным пределом. Читается: предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю.

Пример . Найти .

° Решение: .      ·

 Второй замечательный предел.

.                                        

Если в равенстве положить  (a → 0 при х → ∞), оно запишется в виде .

Эти равенства называются вторым замечательным пределом. Они широко используются при вычислении пределов.

Пример Найти .

° Решение: Обозначим х = 2 t, очевидно, t → ∞ при х → ∞. Имеем

.        ·