Числовая последовательность.

Предел последовательности. Предел функции.

Под числовой последовательностью x ₁ , x ₂ , x ₃ , …, x_n , … понимается функция

, заданная на множестве N натуральных чисел. Кратко последовательность обозначается в виде {х _n} или х _n , n Î N. Число x ₁ называется первым членом (элементом) последовательности, x ₂ – вторым,..., х _n – общим или n -м членом последовательности.

Чаще всего последовательность задается формулой ее общего члена. Формула (1) позволяет вычислить любой член последовательности по номеру n, по ней можно сразу вычислить любой член последовательности. Так, равенства

, , , , n Î N

задают соответственно последовательности

;                     ;

;                    .

Последовательность {х _n} называется ограниченной, если существует такое число М > 0, что для любого n Î Nвыполняется неравенство

В противном случае последовательность называется неограниченной. Легко видеть, что последовательности у _n и u _n ограничены, а ν _n и z_n – неограничены.

Последовательность {х _n} называется возрастающей (неубывающей), если для любого n выполняется неравенство х _{n +1} > х _n (х _{n +1} ≥ х _n). Аналогично определяется убывающая (невозрастающая) последовательность.

Все эти последовательности называются монотонными последовательностями. Последовательности ν _n , у _n и u _n монотонные, а z_n – не монотонная.

Если все элементы последовательности {х _n} равны одному и тому же числу с, то ее называют постоянной.

Другой способ задания числовых последовательностей – рекуррентный способ. В нем задается начальный элемент х₁ (первый член последовательности) и правило определения n -го элемента по ( n – 1)-му:

х _n = f (х _{n -1} ).

Таким образом, х₂ = f (х₁), х₃ = f (х₂) и т.д. При таком способе задания последовательности для определения 100-го члена надо сначала посчитать все 99 предыдущих.

 Предел числовой последовательности.

Можно заметить, что члены последовательности u _n неограниченно приближаются к числу 1. В этом случае говорят, что последовательность u _n, n Î Nстремится к пределу 1.

Число а называется пределом последовательности {х _n}, если для любого положительного числа e найдется такое натуральное число N, что при всех n > N выполняется неравенство    |x_n - a| < e      

В этом случае пишут  или х _n → а при n →  и говорят, что последовательность {х _n} (или переменная х _n, пробегающая последовательность х₁, х₂,  х₃, …) имеет предел, равный числу а (или х _n стремится к а). Говорят также, что последовательность {х _n} сходится к а.

      Коротко определение предела можно записать так:

( " e > 0 $ N : " n > N Þ |x_n - a| < e ) Û .

Геометрический смысл определения предела последовательности:

Неравенство (2) равносильно неравенствам – ε < х _n – а < ε или а – ε < х _n < а + ε, которые показывают, что элемент х _n находится в ε-окрестности точки а.

Поэтому определение предела последовательности геометрически можно сформулировать так: число а называется пределом последовательности {х _n}, если для любой ε-окрестности точки а найдется натуральное число N, что все значения х _n, для которых n > N, попадут в ε-окрестность точки а (см. рис. 1).

Ясно, что чем меньше ε, тем больше число N, но в любом случае внутри ε-окрестности точки а находится бесконечное число членов последовательности, а вне ее может быть лишь конечное их число.

Отсюда следует, что сходящаяся последовательность имеет только один предел. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся. Таковой является, например, последовательность ν _n (см. выше).

Постоянная последовательность х _n = с, n Î N имеет предел, равный числу с, т.е. .

 Предел монотонной ограниченной последовательности.

Не всякая последовательность имеет предел. Признак существования предела последовательности:

Теорема 3 (Вейерштрасс). Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.