Предел функции в точке.

Пусть функция у = f (х) определена в некоторой окрестности точки х₀, кроме, быть может, самой точки х₀.

Определение (на «языке последовательностей», или по Гейне). Число А называется пределом функции у = f(х) в точке х₀ (или при х → х₀), если для любой последовательности допустимых значений аргумента х_n, n Î N (х_n ≠ х₀), сходящейся к х₀ (т.е. ), последовательность соответствующих значений функции f(х_n), n Î N, сходится к числу А (т.е. ).

В этом случае пишут  или f(х) → А при х → х₀. Геометрический смысл предела функции:  означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке х₀, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.

 Односторонние пределы.

В определении предела функции считается, что х стремится к х₀ любым способом: оставаясь меньшим, чем x ₀ (слева от х₀), большим, чем х₀ (справа от х₀), или колеблясь около точки x ₀.

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к х₀ существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Число А₁ называется пределом функции у = f(х) слева в точке х₀, если для любого числа ε > 0 существует число δ = δ ( ε ) > 0 такое, что при х Î (x ₀ – δ ; x ₀), выполняется неравенство . Предел слева записывают так:  или коротко: f(х₀ – 0) = А₁ (обозначение Дирихле) Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с помощью символов:

Коротко предел справа обозначают f(х₀ + 0) = A ₂.

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует , то существуют и оба односторонних предела, причем А = А₁ = А₂.

Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела f(х₀ – 0) и  f(х₀ + 0) и они равны, то существует предел А =  и А = f(х₀ –0) = f(х₀ + 0).

Если же А₁  ≠ А₂, то  не существует.

 Предел функции при x → ¥ .

Пусть функция у = f(х) определена в промежутке (– ¥ ; ¥ ). Число А называется пределом функции f(х) при х → ¥, если для любого положительного числа ε существует такое число М = М( ε ) > 0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х| > М выполняется неравенство | f(х) – А| < ε. Записывают  или f(х) → А при      х → ¥. Коротко это определение можно записать так:

Если x → + ¥, то пишут если x → – ¥ , то пишут . Геометрический смысл этого определения таков: для  что при х Î (– ¥ ; –М) или х Î ( M ; + ¥ ) соответствующие значения функции f(х) попадают в ε-окрестность точки А, т.е. точки графика лежат в полосе шириной 2 ε, ограниченной прямыми у = А + ε и у = А - ε (см. рис. 4).

 Бесконечна большая функция (б.б.ф.)

Функция у = f(х) называется бесконечно большой при х → х₀, если для любого числа М > 0 существует число δ = δ(М) > 0, что для всех х ≠ х₀, удовлетворяющих неравенству |х – х₀| < δ, выполняется неравенство | f( x )| > M. Записывают  или f(х) → ¥ при х → х₀. Коротко:

Например, функция у =  есть б.б.ф. при х → 2.

Если f( x ) стремится к бесконечности при х → х₀ и принимает лишь положительные значения, то пишут ; если лишь отрицательные значения, то .

Функция у = f(х), заданная на всей числовой прямой, называется бесконечно большой при х → ¥, если для любого числа М > 0 найдется такое число N = N(М) > 0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х| > N, выполняется неравенство | f(х) | > M. Коротко:

Например, у = 2^х есть б.б.ф. при х → ¥ .

Всякая б.б.ф, в окрестности точки х₀ является неограниченной в этой окрестности. Обратное утверждение неверно: неограниченная функция может и не быть б.б.ф. (Например, у = хsin х.)

Однако, если  где А – конечное число, то функция f(х) ограничена в окрестности точки x ₀.