Передаточная функция. Общие сведения. Преобразование Лапласа. Правило Крамера

Под передаточной функцией понимают отношение изображения выходной координаты к изображению входной координаты при нулевых начальных условиях. Например, пусть поведение объекта описывается дифференциальным уравнением

a₀y”+a₁y’+a₂y=b₀x’+b₁x,

где y и x – соответственно выходная и входная координаты.

Преобразованное по Лапласу дифференциальное уравнение имеет вид:

(a₀s²+a₁s+a₂)y(s)=(b₀ s+b₁)x(s).

Отсюда передаточная функция равна

W(s)=

Для системы уравнений используют известное в математике правило Крамера.

Пусть имеется система линейных алгебраических уравнении

AY = X ,

или

Здесь

В дальнейшем примем

В соответствии с правилом Крамера выходные координаты равны

где

Следовательно, передаточные функции между выходными координатами у и входной координатой F для системы уравнений будут равны

Передаточные функции объектов на примере трехмассовой динамической модели

Рисунок – Трехмассовая динамическая модель

Для нахождения передаточных функций уравнения запишем в преобразованиях Лапласа:

где

Полученную систему уравнений запишем в упорядоченном виде:

где

Воспользуемся описанным выше правилом Крамера. В результате получим

Отсюда искомые передаточные функции

Поскольку , то передаточные функции между крутящими моментами в упругих звеньях и входным моментом М₀ равны

Передаточные функции менаду суммарными крутящими моментами в упругих звеньях

и входным моментом М₀ равны

Амплитудно-частотные характеристики объекта. Общие сведения. Нахождение АЧХ объекта (пояснить на примере)

Амплитудная частотная характеристика представляет собой отношение амплитуды выходного установившегося сигнала к амплитуде входного гармонического воздействия различной частоты.

АЧХ можно найти из КЧХ, разложив последнюю на вещественную ReW и мнимую ImW части:

W(jw) = ReW + jImW, где j = .

Тогда АЧХ будет равна      

A(w) = .

Например, АЧХ для объекта, поведение которого описывается уравнением

a₀y”+a₁y’+a₂y=bx,

Передаточная функция равна

W(s)=

После замены s на jw получаем

W(jw) =

Разделив последнее выражение на вещественную и мнимую части, после простых преобразований находим АЧХ

A(w) =

Более просто АЧХ находится при использовании выражения

A(w) =  .

Типичный график АЧХ показан на рисунке.

Рисунок – Пример графика амплитудной частотной характеристики объекта