Трехмассовая модель подвески автомобиля. Вывод уравнений движения методом Лагранжа в обобщенных координатах

Применение уравнений Лагранжа для вывода уравнений движения трехмассовой динамической модели с линейным перемещением масс

 

Рисунок – Трехмассовая динамическая модель с линейным перемещением масс

 

Кинетическая, потенциальная энергия и функция рассеивания соответственно равны

В соответствии с уравнениями Лагранжа необходимо продифференцировать выражения для энергий

После подстановки результатов дифференцирования в уравнения Лагранжа получим систему дифференциальных уравнений:

где

Переход от абсолютных к относительным обобщенным координатам на примере трехмассовой динамической модели с угловым перемещением масс

 

Рисунок – Трехмассовая динамическая модель с угловым перемещением масс

 

Система уравнений относительно углов поворота масс

Деформации упругих звеньев и их первые и вторые производные соответственно равны

Для перехода к относительны м координатам разделим каждое из уравнений системы на свой момент инерции J_l, J₂ или J₃ и последовательно вычтем из первого уравнения второе и из второго третье. В результате получим

После подстановки в систему значений моментов M₁ и М₂, равных

получим систему уравнений, в которых обобщенными координатам и являются деформации упругих звеньев:

Поскольку деформации пропорциональны упругим моментам, после умножения первого уравнения системы на c₁, а второго – на с₂, получим уравнения, в которых обобщенными координатами являются крутящие моменты в упругих звеньях:

При отсутствии трения (b₁ = b₂ = 0) M₁= М_с1 и М₂= М_с2. В этом случае уравнения примут вид

Трехмассовая модель подвески автомобиля. Вывод уравнений движения методом Лагранжа в обобщенных координатах

 

Рисунок – Трехмассовая динамическая модель подвески автомобиля

 

Для вывода уравнений движения используем уравнения Лагранжа второго рода в виде

,        

где ,  – кинетическая и потенциальная энергия системы;

 – функция рассеивания;

 – i-я обобщенная координата.

 

Кинетическая энергия системы

Приняв за начало координат положение статического равновесия, получим для потенциальной энергии

,

где ,  – деформация упругих элементов подвески переднего и заднего мостов:

;   ;

,  – радиальная деформация шин переднего и заднего мостов:

;  .

Перемещения  и  подрессоренной массы  над балками переднего и заднего мостов:

;     .

Следовательно, выражение для потенциальной энергии примет вид:

Энергия, рассеиваемая в системе,

,

или

Дифференцируя равенства по принятым обобщенным координатам , ,  и , получим:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

После подстановки полученных производных в уравнения Лагранжа, число которых равно числу обобщенных координат, и преобразований получим искомую систему уравнений движения:

;

;

;

,

где

; ;  ;

; ;  ;

; ;

;    .