Примеры решения типовых задач

Пример 1. Дана таблица значений функции . Построить для этой функции интерполяционный многочлен Ньютона и с помощью его найти приближенное значение функции для заданного аргумента .

X	3.50	3.55	3.60	3.65	3,70
Y	33.115	34.813	36.598	38.475	40.447	3.57

 

Решение. Интерполяционный многочлен Ньютона для заданной функции имеет вид

 где . Составим таблицу конечных разностей для заданных значений

3.50 3.55 3.60 3.65 3.70	33.115 34.813 36.598 38.475 40.447	1.698 1.785 1.877 1.972 ------	0.087 0.092 0.095 ------ ------	0.005 0.003 ------ ------ ------

 

При составлении таблицы конечных разностей ограничиваемся разностями третьего порядка, так как они практически постоянны. Поэтому в формуле Ньютона полагаем . Приняв , ,  будем иметь:

или

где  Подставим в выражение для  значение .

Получим   Тогда,

Следовательно,  

 

Пример 2. Дана таблица значений функции . Используя метод наименьших квадратов, подобрать для заданных значений  и

1) линейную функцию ;

2) квадратичную функцию .        

Построить графики этих функций.

X	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5	3.0
Y	0.31	0.82	1.29	1.85	2.51	3.02

Решение.

1) Аппроксимируем таблично заданную функцию  линейной . Составим систему для определения  

Предварительно вычисляем , , ,  Следовательно,

Решая эту систему, находим  и : , .

Искомый многочлен .

2) Аппроксимируем таблично заданную функцию  квадратичной функцией . Составим систему для определения  

Предварительно вычисляем

,

,

,

,

, ,

Получим систему уравнений вида

Решая эту систему, находим : , , .

Искомый многочлен

Рисунок 2.14. Исходные данные и результаты аппроксимации

 

Пример 3. Получить приближенное решение системы методом простой итерации с точностью 0.01.

Решение.  Выразим переменную  из i-го уравнения системы, получим

В качестве начального приближения возьмем совокупность чисел ; ; . После первого шага получим:

После второго шага:

Дальнейшие вычисления располагаем в таблице

0  1  2  3  4  5  6	1.2000 1.2000 0.9640 1.0098 0.9975 1.0007 0.9998	0.0000 1.0600 0.9440 1.0104 0.9966 1.0009 0.9997	0.0000 1.1600 0.9480 1.0144 0.9960 1.0012 0.9997

 

 

Точное решение ( ) практически достигается на 6-ой итерации.

Пример 4. Отделить корни и найти приближенное решение заданного уравнения с точностью  методом Ньютона (1) и методом итераций (2).

1) ;                  2) .

Решение.  1)Локализуем корни первого уравнения. Обозначим .

Применим метод Лагранжа. Найдем граничные значения интервалов  и , которым принадлежат корни уравнения.

Найдем . Верхняя граница положительных корней полинома   вида

f(x) = a₀x ⁿ + a₁x^n-1 +... +a_kx^n-k +…+ a_n , (a₀ >0)                           

определяется по формуле Лагранжа :

,                                                     

где: k ³ 1 – меньший номер отрицательных коэффициентов полинома;

B – максимальный по модулю отрицательный коэффициент.

Таким образом, , , k=1

 =1,2

Найдем . Составим , получим , а значит уравнение  или

 =1,145

 Найдем . Составим , получим

.  =1,365

Найдем . Составим , получим

.  =1,333

Таким образом, получим интервалы  и , которым принадлежат корни уравнения, окончательно  и

Уравнение имеет действительный корень, лежащий в промежутке . Уточним этот корень методом касательных, выбрав в качестве .

Проверим условия:

1) , т.е. . Это условие выполняется, так как , а .

2) . Это условие выполняется, так как , ,  и .

Для вычислений применяем формулу Ньютона

Для вычислений используем итерационную таблицу

Номер итерации
0 1 2	-1 -0.949 -0.9464	-0.2 -0.0093 -0.0004	3.9 3.5814 3.5657	-0.051 -0.0026 -0.00001

 

Ответ: .

2) Метод итераций. Отделяем корни графически. Уравнение  перепишем . Построим графики функций  и

Уравнение имеет действительный корень, лежащий в промежутке .

Рисунок 2.15. Пример отделения корней графическим методом

Для уточнения решения методом итераций приведем уравнение к виду . При этом должно выполняться условие  для . Функцию  будем искать из соотношения , считая, что , где  число  имеет тот же знак, что и  в промежутке . Находим .

Так как , то можно взять . Тогда

Пусть , тогда . Вычисления расположим в итерационной таблице

0 1 2 3 4 5	0 -0.3 -0.3693 -0.3785 -0.3795 0.3796	0 0.09 0.1364 0.1433 0.1440	0 -0.027 -0.0504 -0.0542 -0.0546	-0.3 -0.3693 -0.3785 -0.3795 -0.3796

Ответ: .

Пример 5.  1) Вычислить интеграл.

по формуле трапеций с тремя десятичными знаками

2) Вычислить интеграл

по формуле Симпсона при n=8; оценить погрешность результата, составив таблицу конечных разностей.

Решение.

 1) Для достижения заданной степени точности необходимо определить значение  так, чтобы

(*)

 

Здесь ; ; , где .

 

 Находим , ;

 

.

 

Положим , тогда неравенство (*) примет вид , откуда , т.е. ; возьмем .

 

Вычисление интеграла проводим по формуле

,

 

где ; ; .

 

    Все вычисления приведены в таблице :

 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	0.7 0.73 0.76 0.79 0.82 0.85 0.88 0.91 0.94 0.97 1.00	0.88386 0.85572 0.82898 0.80366 0.77973 0.75700 0.73546 0.71501 0.69551 0.67700 0.65937	11 12 13 14 15 16 17 18 19 20	1.03 1.06 1.09 1.12 1.15 1.18 1.21 1.24 1.27 1.30	0.64259 0.62657 0.61140 0.59669 0.58272 0.56935 0.55658 0.54431 0.53253 0.52129

Таким образом,

.

Ответ: 0,404

2) Согласно условию , поэтому .

Применим метод Симпсона, разобьем интервал  на четное число частей . Каждая пара полосок ограничивается сверху параболой, проходящей через три точки. Затем вычисляется площадь каждой пары полосок, ограниченной сверху параболой. Сумма площадей всех пар полосок является приближенным значением определенного интеграла

Расчетная формула имеет вид

где , .

Вычисления значения функции запишем в таблице:

0 1 2 3 4 5	1.2 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45	0.1211 0.1520 0.1782 0.2000 0.2176 0.2312
6 7 8	1.50 1.55 1.60	0.2410 0.2473 0.2503

Следовательно,

.

Ответ: 0,88278

Пример 6 .Получить численное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее заданному начальному условию  на отрезке  с шагом , методом Эйлера

, , .

Решение. Формула Эйлера для решения задачи Коши имеет вид

В нашем случае  

Находим последовательные значения аргумента: , , , , . Вычислим соответствующие значения искомой функции:

Результаты вычислений представим в таблице.

Ответ:

	0	0.1	0.2	0.3	0.4
	1	1.1	1.22	1.362	1.5282