Распространение тепла в ограниченном стержне

Рассмотрим задачу о распространении тепла в стержне, концы которого поддерживаются при нулевой температуре. Стержень считаем однородным и тонким, так, что d<<l , где d – диаметр стержня, l – его длина. Таким образом, сечение стержня считается настолько малым, что всем точкам сечения в каждый момент времени можно приписать одну температуру. Это означает, что , где ось  направлена вдоль стержня. Боковая поверхность стержня предполагается изолированной от окружающей среды.

В начальный момент времени  задано распределение температуры вдоль стержня, характеризуемое функцией . Указан также тепловой режим, поддерживаемый на концах стержня – считаем температуру на его концах равной нулю. Задача состоит в отыскании решения уравнения теплопроводности

,   ,                                      (1.15)

при граничных условиях

,                                                  (1.16)

и при начальном условии

,                                                        (1.17)

где  – непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и удовлетворяет условиям согласования с требованиями (1.16)

Метод разделения переменных, называемый также методом Фурье, заключается в следующем:

1.Ищем частные решения уравнения (1.15) в виде  

.                                                     (1.18)

2. Подставляя (18) в (15) получаем уравнение

.

Разделив обе части полученного уравнения на  из (1.18), имеем

.                                                (1.19)

Постоянная , называемая постоянной разделения, появилась в (1.19) из следующих соображений: левая часть в (1.19) зависит только от переменной , правая – только от переменной , и эти части должны быть равны при всех значениях  и . Поэтому оба отношения в (1.19) равны постоянной. Приравнивая каждое отношение в (1.19) постоянной, получим два обыкновенных дифференциальных уравнения для функций  и :

                                                   (1.20)

                                                  (1.21)

3. По условию задачи функция  должна удовлетворять краевым условиям вида (1.16). Из (1.18) и (1.16) получаем условия для функции

, .

Таким образом, для функции  получили задачу: требуется найти не равные тождественно нулю решения краевой задачи

, ,                                           (1.20’)

а также числовые значения параметра, при которых существуют ненулевые решения задачи (1.20), (1.20’).

Поставленная задача называется задачей Штурма-Лиувилля. Указанные числовые значения  называются собственными значениями (числами) краевой задачи, соответствующие этим  ненулевые решения – собственными функциями.

Найдем собственные числа краевой задачи (1.20), (1.20’). Рассмотрим возможности:

Пусть . Тогда общим решением уравнения (1.20) будет являться функция

.

При  и , имеем

, ,

Следовательно, , поэтому  и начальное условие (1.17) не будет выполняться.

Пусть . Тогда общее решение уравнения (1.20) имеет вид

.

При  и , имеем

,

систему двух однородных алгебраических уравнений, определитель которой не равен нулю. Поэтому , . И в этом случае условие (1.17) не удовлетворено.

Рассмотрим случай . В этом случае корни характеристического уравнения, соответствующего уравнению (1.20), равны , т.е. мнимые числа.

Как известно из курса теории дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (1.20) имеет вид

.                                         (1.22)

При  получаем . При  имеем

, , ,                                         (1.23)

где  . Подставляя (1.23) в (1.22), получаем

.                                                        (1.24)

Входящие в формулу (1.24) функция и постоянная снабжены индексом, поскольку их значения зависят от .

Формула (1.23) определяет собственные числа, а формула (1.24) – собственные функции краевой задачи, соответствующие этим собственным числам.

4.  Подставляя в уравнение (1.21) вместо  собственное значение  для определения функции , соответствующей данному собственному значению, получаем уравнение

                                           (1.25)

Общее решение ура внения (6.25) имеет вид

 ,                                             (1.26)

где  - произвольные постоянные.

Итак, все функции

                          (1.27)

удовлетворяют уравнению теплопроводности (15) и граничным условиям (1.16) при любых значениях  и любых постоянных . Но начальному условию (1.17) функции (1.27) в общем случае не удовлетворяют.

5. Требуем, чтобы решение удовлетворяло начальному условию (1.17). Для этого, учитывая (1.27), составим ряд

.                           (1.28)

Каждый член этого ряда удовлетворяет уравнению (1.15) и краевым условиям (1.16). Предположим, что функция  разлагается в равномерно и абсолютно сходящийся ряд Фурье. В силу начального условия, полагая в (1.28) , получим

.                                    (1.29)

Написанный ряд представляет собой разложение функции  в ряд Фурье по синусам в промежутке (0,l). Коэффициенты  находятся по формуле

 .                                         (1.30)

Предполагая, что  непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и обращается в нуль при  и , получаем, что ряд (1.29) с коэффициентами (1.30) равномерно и абсолютно сходится к  (это известно из теории тригонометрических рядов).

Поскольку при  справедливы неравенства

,

то ряд (1.28) при  также сходится абсолютно и равномерно. Поэтому функция  (1.28) непрерывна при ,  и удовлетворяет начальному и граничному условиям. Можно показать (мы не останавливаемся на этом), что функция  удовлетворяет уравнению (1.15) и имеет непрерывные производные по  и  первого и второго порядков соответственно.