Аппроксимация функции. Метод наименьших квадратов

Пусть для неизвестной функции  в точках  экспериментальным путем получены значения . Аппроксимация, так же как и интерполяция, используется для построения функций по набору данных. Но если в случае интерполяции функция должна строго совпадать с данными в узлах сетки , то аппроксимационная функция должна лишь в некотором смысле приближать данные.

 Аппроксимация опытных данных – это метод, основанный на замене экспериментально полученных данных аналитической функцией наиболее близко проходящей или совпадающей в узловых точках с исходными значениями (данными полученными в ходе опыта или эксперимента). В связи с этим возникает задача приближения таблично заданной функции  многочленом , который имеет не слишком высокую степень  и дает в некотором смысле разумную точность аппроксимации.

Для решения этой задачи воспользуемся методом наименьших квадратов. В методе наименьших квадратов за меру отклонения многочлена  от функции  принимается сумма квадратов их отклонений

.

Задача состоит в том, чтобы в аппроксимирующем многочлене  подобрать коэффициенты  так, чтобы минимизировать  

Так как коэффициенты  являются независимыми переменными функции , то необходимым условием минимума является равенство нулю всех частных производных , , …, . Приравнивая нулю эти частные производные получим систему уравнений

После преобразования система принимает вид

               (2.5)

Определитель этой системы отличен от нуля, поэтому эта система имеет единственное решение .       

Нахождение параметров линейной функции

Пусть экспериментальные данные надо представить линейной функцией:

Требуется подобрать такие значения a и b, для которых функция

        (2.6)

будет минимальной. Необходимые условия минимума функции (2.6) сводятся к системе уравнений:

После преобразований получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

решая которую, находим искомые значения параметров a  и b.

Нахождение параметров квадратичной функции

Если аппроксимирующей функцией является квадратичная зависимость

то её параметры a, b, c находят из условия минимума функции:

Условия минимума функции (3.6) сводятся к системе уравнений:

После преобразований получаем систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:

при решении которой находим искомые значения параметров a, b и c.

Рисунок 2.3. Пример представления исходных данных и аппроксимационных функций