Система аксиом геометрии Лобачевского

Схема аксиоматического построения геометрии выглядит следующим образом.

1. Рассматривается множество элементов произвольной природы, которые как-то условно называют и обозначают. Далее также условно обозначают операции и отношения между элементами этого множества.

2. Даётся список аксиом, выражающих свойства основных отношений или операций.

3. Даются определения остальных понятий и путём логических рассуждений выводятся теоремы.

Система аксиом геометрии Лобачевского включает в себя: восемь аксиом связи, четыре аксиомы порядка, пять аксиом конгруэнтности, аксиому непрерывности и аксиому Лобачевского.

Основные объекты: точка, прямая, плоскость.

Основные отношения: „принадлежать", „лежать между", „быть конгруэнтными”.

Аксиомы связи

. Каковы бы ни были две точки, существует прямая, проходящая через эти две точки.

. Каковы бы ни были две точки, существует не более одной прямой, проходящей через эти две точки.

. На каждой прямой лежат две точки. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.

. Каковы бы ни были три точки, существует плоскость, их содержащая. На каждой плоскости есть хотя бы одна точка.

. Для любых трёх точек, не лежащих на одной прямой, существует не более одной плоскости, содержащей эти три точки.

. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.

. Если две плоскости имеют общую точку, то существует, по крайне мере, ещё одна общая точка.

. Существуют, по крайне мере, четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

Аксиомы порядка

. Если имеет место ABC (точка В лежит между точками А и С), то А, В, С - три различные точки, лежащие на одной прямой, и имеет место СBA.

. Для любых двух точек А и В существует, по крайне мере, одна точка С такая, что имеет место АВС.

. Из любых трёх точек, лежащих на прямой, одна и только одна лежит между двумя другими.

. (Аксиома Паша). Пусть даны три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, и прямая а, не проходящая ни через одну из этих точек. Если на прямой а есть точка, лежащая между точками А и В, то на прямой а есть точка, лежащая либо между В и С, либо между А и С.

Определение. Отрезком АВ назовём множество всех точек С, лежащих между А и В, и сами эти точки.

Обозначение. [AB] - отрезок АВ.

Определение. Лучом ОА назовём множество всех точек Х, что имеет место .

Обозначение. [ОА) - луч ОА.

Аксиомы конгруэнтности

. Дан отрезок UV и луч Аа. Тогда существует точка В  [Aa) такая, что [AB]  [UV] и [AB]  [BA].

. Если [AB]  [UV], [CD]  [UV], то [AB]  [CD].

. Если имеет место АВС и и [AB]  [ ],

[BC]  [ ], то [AC]  [ ].

16

Определение. Углом назовём совокупность двух лучей с общим началом.

Определение. Треугольником АВС назовём совокупность отрезков АВ, ВС, СА.

. Дан угол  (u,v) и луч Аа с заданной полуплоскостью, тогда в указанной полуплоскости существует единственный луч [Ab) такой, что  (а,b)  (u,v) и всякий угол конгруэнтен самому себе.

. Пусть дан АВС и , [AB]  [AB], [AC]  [AC], . Тогда .

Аксиома непрерывности

IV. Пусть все точки прямой разбиты на два класса так, что выполняются условия:

1. Оба класса не пусты.

2. Каждая точка прямой отнесена к одному и только одному из классов.

3. Каждый класс есть выпуклое множество.

Тогда в одном из классов существует граничная точка, т.е. такая точка, которая не лежит между двумя точками одного и того же класса.

Аксиома Лобачевского

V. Через точку, взятую вне прямой, в плоскости, определяемой этой прямой и точкой, можно провести по крайне мере две прямые, не пересекающие данную прямую.

В связи с аксиоматическим построением теории возникают следующие три вопроса является ли данная система аксиом:

1) непротиворечивой,

2) независимой,

3) полной.

Система аксиом называется непротиворечивой, если из неё нельзя получить путём логических рассуждений двух взаимно исключающих утверждений a и .

Система аксиом называется независимой, если ни одну из аксиом системы S нельзя вывести из остальных.

Система аксиом называется полной, если с помощью её можно доказать или опровергнуть любое предложение, сформулированное в терминах этой аксиоматики.

Исследование аксиоматики по этим трём вопросам связано с построением модели (реализации, интерпретации).

Построить или задать интерпретацию (модель) системы аксиом S - это значит:

1. Задать конкретное множество элементов произвольной природы, условно именуемых точками, прямыми, плоскостями;

2. Так определить отношения между элементами, условно выражаемые словами „принадлежать”, „между”, „быть конгруэнтным”, чтобы выполнялись все аксиомы системы S.

Имеет место следующая теорема:

Теорема. Система аксиом S непротиворечива, если она допускает хотя бы одну реализацию.

Доказательство. Допустим, что S - противоречива, т.е. S→a и S→ . Пусть R - реализация S, тогда в R имеет место a и , что невозможно в силу конкретности основных понятий в R.