Сохранение углов при инверсии

Определение. Прямые a и b назовём антипараллельными относительно О, если .

Лемма. Если  (A) =A' и  (B) =B', то прямые АВ и А'В' антипараллельны.

Доказательство получим, рассмотрев ОАВ и ОА'В'.

Теорема 3. Инверсия сохраняет величину углов.

Доказательство. Пусть f и g-кривые, выходящие из точки А, f'=  (f), g'=  (g) и A'=  (A).

Проводим из точки О луч, пересекающий f и g в точках В и С соответственно. Пусть B'=  (B), C'=  (C). По лемме прямые АВ и А'В', АС и А'С' антипараллельны. Значит, OA'B'= OBA

и OA'C'= OCA, тогда

C'A'B'= OA'B' - OA'C'= OBA- OCA= CAB.

Переходя в равенстве C'A'B'= CAB к пределу при АОС 0 (луч ОС приближаем к лучу ОА), получим утверждение теоремы.

Замечание. Доказанное свойство позволяет легко строить образы прямых и окружностей при инверсии.

Пусть, например, дана прямая L и

Проведём луч l с началом О, перпендикулярно L.

Пусть  A'=  (A).

В силу теорем 2 и 3 заключаем, что L'=  (L) - окружность с диаметром ОА'.

5. Инвариантные прямые и окружности

Из теоремы 2 следует, что прямые, проходящие через центр инверсии, и только они, отображаются при  на себя, т.е. эти прямые инвариантны при .

Мы уже отмечали, что  ( (O,r)) = (O,r), т.е. окружность (O,r) инвариантна при .

Существуют ли другие окружности, инвариантные при ? Ответ на этот вопрос даёт следующая.

Теорема 4. Пусть S-окружность, отличная от (O,r).  (S) =S тогда и только тогда, когда S ортогональна (O,r),

Доказательство. Допустим, что  (S) =S. Ясно, что S пересекает (O,r) в двух точках, скажем, A и B.

Имеем .

Согласно теореме 3

( (O,r) ^ ) = ( (O,r) ^ ),

а это означает ортогональность S и (O,r).

Докажем обратное. Пусть теперь (O,r) ортогональна S, A и B - точки пересечения S и (O,r).

Проведём в точке А касательные к S и (O,r), которые пройдут через центры окружностей (O,r) и S соответственно.

Отсюда ясно, что S-единственная окружность, ортогональная (O,r) и проходящая через точки A и B.

Так как  (если допустить, что , то  (S) - прямая, ортогональная (O,r) и не проходящая через точку O, что невозможно), то  (S) - окружность, ортогональная (O,r) и проходящая через точки A и B. Значит,  (S) =S.

Теорема 5. Окружность, проходящая через две инверсные точки, преобразуются при инверсии в себя.

Доказательство. Пусть A'=  (A), S - окружность такая, что и . Пусть B - произвольная точка S и B'= , тогда

,

т.е.  (B) =B', а это значит, что

 (S) =S'.

Следствие. Окружность, проходящая через две инверсные точки, ортогональна к окружности инверсии.

Рассмотрим далее две задачи, которые нам потребуются в дальнейшем изложении.

Задача 1. Дана прямая и окружность. Найти инверсию, переводящую прямую в окружность.

Дана прямая l и окружность S с центром в точке С. Проведём (СР)

 l, .

Примем О за центр инверсии, тогда Р и Р' - инверсные точки, значит

r= .

Итак,

 -

искомая инверсия, переводящая прямую в окружность.

Задача 2. Даны две окружности ( ) и ( ). Найти инверсию, переводящую одну окружность в другую.

Имеет место

Теорема. Любые две неравные окружности гомотетичны и имеют внутренний и внешний центр гомотетии.

Т.к. инверсные точки, по определению, принадлежат одному лучу с вершиной в центре инверсии, то за центр инверсии выберем внешний центр гомотетии.

Пусть это точка О, тогда радиус инверсии

r=  (см. рисунок).