Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского на плоскости

 

Рассмотрим евклидову плоскость и евклидову прямую f в ней. Прямая f разбивает евклидову плоскость на две полуплоскости. Выберем одну из этих полуплоскостей без её границы и назовём плоскостью Лобачевского.

 

 

Точкой Лобачевского (Л-точкой) назовём евклидову точку, принадлежащую выбранной полуплоскости без границы f.

Прямыми Лобачевского (Л - прямыми) назовём евклидовы полуокружности (в том числе и „полуокружности бесконечно большого радиуса”, ортогональные f и расположены в выбранной полуплоскости без границы.

Определим далее отношения „лежать между", „лежать на", „быть конгруэнтными" и покажем, что при этом выполняются все аксиомы геометрии Лобачевского.

Будем говорить, что Л - точка лежит на Л - прямой, если евклидова точка лежит на евклидовой полуокружности или евклидовом луче.

Проверим выполнимость аксиом принадлежности.

Пусть даны Л - точки А и В. Покажем, что существует Л - прямая, проходящая через эти Л - точки.

 

 

Проведём евклидову отрезку АВ срединный перпендикуляр в евклидовом смысле.

Если то евклидова полуокружность (О, |OA|) - есть

Л - прямая, если  то Л - прямой будет евклидов луч.

Из указанных построений следует выполнимость и аксиомы

Каковы бы ни были точки А и В существует не более одной прямой, проходящей через эти две точки.

На каждой прямой лежат по крайне мере две точки. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.

 

 

Аксиома выполняется на модели, т.к это утверждение справедливо для евклидовой полуокружности и евклидова луча.

Замечание. На следующем рисунке представлена на модели

Теорема. Две прямые имеют не более одной общей точки.

 

 

Отношение „лежать между" будем понимать в обычном евклидовом смысле для точек полуокружности и луча.

 

 

Аксиомы выполняются на модели, т.к они справедливы для евклидовых точек, евклидовых полуокружностей и лучей.

 

 

Проверим выполнимость аксиомы .

Пусть даны Л - точки А, В, С, такие, что ; и Л - прямая а такая, что

Пусть, далее , и имеет место ADB. Покажем, что на Л - прямой a существует Л - точка F такая, что имеет место либо BFC, либо AFC.

Доказательство следует из теоремы: две евклидовы окружности пересекаются тогда и только тогда, когда одна из них проходит через внутреннюю точку другой окружности.

 

 

 

В самом деле, т.к имеет место ADB, то одна из точек А или В по отношению к окружности а внутренняя, пусть это точка В. Тогда, если точка С лежит вне окружности а, то имеет место BFC; если точка С лежит внутри окружности а, то имеет место AFC.

Замечание. На следующих рисунках представлена интерпретация отрезка, луча, угла, треугольника в плоскости Лобачевского.

[AB]

 

[Aa)

 

 (a,b)

ΔАВС

 

Прежде чем определить отношение „быть конгруэнтными", введём понятие неевклидова движения.

Пусть Л - прямая а задана в виде евклидовой полуокружности.

 

 

Симметрией Л - плоскости относительно Л - прямой а назовём инверсию евклидовой полуплоскости относительно евклидовой полуокружности.

 

 

Если Л - прямая а задана в виде евклидова луча, то будем иметь симметрию относительно евклидовой прямой.

 

 

Неевклидовым движением назовём конечную цепочку симметрий Л - плоскости относительно Л - прямых.

Будем говорить, что [AB]  [CD], если существует неевклидово движение :  (A) =C,

 

 (B) =D.

 

если существует неевклидово

движение :

 

 (а) =с,

 (b) =d.

 

Проверим выполнимость аксиом конгруэнтности.

Пусть дан Л - отрезок uv и Л - луч Аа. Докажем, что

1) на [Aa) существует Л - точка В такая, что [AB]  [uv] ;

2) [AB]  [BA].

рис. 1

 

Рис.2

 

Рассмотрим

 

;

 

тогда

 

 

Рассмотрим

 

,

тогда

 

.

 

Рассмотрим

 

 где ,

 

(OF) - касательная из точки О к а, тогда

 

 ( ),

 

Из , то цепочку симметрий оборвём и  (см. рис.1).

Если , то рассмотрим ещё одну симметрию

 

 -

 

касательная к а в точке А (см. рис.2).

Итак, имеем неевклидово движение   , преобразующее u в А, v в В, т.е.

[AB]  [uv].

Докажем, что [AB]  [BA].

Рассмотрим

 

, где

 

 - касательная из точки  к а, тогда а= I ( a), B= I ( A), A= I ( B).

Итак, имеем неевклидово движение , преобразующее

А в В, В в А, т.е. [AB]  [BA].

Прежде чем продолжить проверку аксиом конгруэнтности, рассмотрим

Замечание 1. Критерий конгруэнтности отрезков на модели Пуанкаре.

 

 

Рассмотрим упорядоченные четвёрки точек A, B, M, N и C, D, P, Q.

 

 

Доказательство.1) Пусть . Докажем, что (ABMN) = (CDPQ).

Т.к. , то существует неевклидово движение , такое, что . Остаётся показать, что . Учитывая, что  - конечная цепочка инверсий с центрами на f, и каждая инверсия сохраняет величину угла, имеем .

Т. к.

 

, то , .

 

Итак, (ABMN) = ( CDPQ).

Пусть (ABMN) = ( CDPQ). Докажем, что .

 

Рассмотрим

 

;

 

тогда

 

,

 

Рассмотрим

 

;

 

тогда

 

, .

Рассмотрим , где , (OF) - касательная из точки О к с. Тогда , , .

Покажем, что .

Имеем , , тогда (ABMN) = ( C PQ).

Учитывая условие теоремы, получаем (CDPQ) = (C ), откуда , т.е. D и  принадлежат окружности Аполлония ( ), которая пересекает с в единственной точке, поэтому .

Итак, существует неевклидово движение , такое, что  т.е. .

Замечание 2. Критерий конгруэнтности углов на модели Пуанкаре.

Пусть - евклидова величина неевклидова угла (а, b),  - евклидова величина неевклидова угла (c, d).

 

.

 

Доказательство.1) Пусть , тогда существует неевклидово движение :

Т. к. - это конечная цепочка инверсий, а инверсия сохраняет величину углов, то .

2)

 

Пусть . Рассмотрим неевклидово движение , такое, что .

Пусть . Если окажется по отношению к неевклидову лучу с в той же полуплоскости, что и d, то , т.к инверсия сохраняет величину углов.

Если же окажется в другой полуплоскости относительно луча с, то рассмотрим инверсию .

Т.к. с - является биссектрисой угла ( ), то .

Имеем неевклидово движение , такое, что , , откуда .

Вернёмся к проверке аксиом конгруэнтности. . Пусть [AB]  [UV], [CD]  [UV]. Покажем, что .

 

 

Т.к. [AB]  [UV], то (ABMN) = (UVLK) (1)

Т. к. [CD]  [UV], то (CDPQ) = (UVLK) (2)

Из (1) и (2) имеем (ABMN) = (CDPQ), откуда

(см. критерий конгруэнтности отрезков на модели Пуанкаре).

. Пусть имеет место ABC и , и ,

. Покажем, что .

 

Т.к. , то  (1)

Т.к. , то  (2)

 

Перемножив (1) и (2), получим , откуда  (см. критерий конгруэнтности отрезков на модели Пуанкаре).

. Пусть дан и луч [Aa) с указанной полуплоскостью. Покажем, что существует единственный луч [Ab) в указанной полуплоскости, такой, что ; и каждый угол конгруэнтен самому себе.

 

 

Пусть - евклидова величина неевклидова угла (u, v).

В точке А к евклидовой полуокружности а проведём

касательную в евклидовом смысле и построим в указанной полуплоскости угол, конгруэнтный . Получим евклидову прямую .

Построим в точке А к прямой перпендикуляр до пересечения с f в точке О. С центром в точке О, радиусом ОА проведём полуокружность.

Таким образом, получим неевклидов луч Ab.

Т.к. , то  (см. критерий конгруэнтности углов на модели Пуанкаре).

Единственность луча b следует из однозначности приведённых построений.

Покажем далее, что . Это следует из равенства евклидовых величин этих углов.

. Пусть и , , , . Покажем, что , .

 

 

Т.к. , то существует неевклидово движение , преобразующее стороны  в стороны .

 

1) Пусть , .Т. к.

, , то , , т.е. и , , откуда , .

2) Пусть , .

 

Рассмотрим инверсию относительно биссектрисы . Тогда приходим к ситуации 1).

Замечание. На следующих рисунках изображены конгруэнтные между собой треугольники ABC и .

рис. 1

 

рис. 2

 

Рассмотрим далее решение некоторых задач на модели.

Задача 1. Построить середину отрезка АВ.

1 случай

 

 - касательная к а из О. Докажем, что . Для этого достаточно рассмотреть  

 

2 случай

Строим евклидову окружность S с диаметром ОВ.

 

 

Для доказательства того, что

 

 

достаточно рассмотреть

 

.

 

Заметим, что т.к.

 

,

 

то неевклидова середина отрезка АВ „тяжелее” евклидовой.

Задача 2. Построить биссектрису угла (a, b).

 

- евклидовы касательные к a и b соответственно в точке А.

- евклидова биссектриса

 

 и .

c= ( O, OA) - неевклидова биссектриса .

Доказательство основано на критерии конгруэнтности углов на модели Пуанкаре.

Задача 3. Дана Л-прямая а в точке А, не лежащая на а. Построить Л-прямую b, ортогональную а, и .

1 случай

 

Достаточно построить и тогда b - неевклидова прямая, проходящая через точки А и , т.к окружность, проходящая через пару инверсных точек, ортогональна окружности инверсии.

 

2 случай

3 случай

 

( O, OA) = b

Задача 4. Построить высоту, медиану, биссектрису в треугольнике.

Решение основано на задачах 1-3.

Проверим выполнимость аксиомы непрерывности в формулировке Дедекинда.

IV. Пусть все точки прямой разбиты на два класса так, что выполняются условия:

Оба класса не пустые;

Каждая точка прямой отнесена к одному и только одному из классов;

Каждый класс есть выпуклое множество.

Покажем, что в одном из классов существует граничная точка, т.е. такая точка, которая не лежит между двумя точками одного и того же класса.

Пусть все точки Л-прямой а разбиты на два класса и  так, что выполнены условия 1-3 аксиомы Дедекинда.

Рассмотрим евклидову прямую , касающуюся Л-прямой a и параллельную f.

 

 

Установим соответствие между точками прямых а и , с помощью радиальных прямых. Очевидно, что это соответствие будет взаимно-однозначным. Поэтому все точки евклидовой прямой разобьются на два класса и  так, что будут выполнены условия 1-3 аксиом Дедекинда.

Т.к. для евклидовой прямой аксиома Дедекинда справедлива, то в одном из классов или  существует граничная точка .

Тогда соответствующая ей точка  будет граничной в разбиении Л-прямой а.

Проверим выполнимость аксиомы Лобачевского на модели Пуанкаре.

V. Пусть дана Л-прямая а и Л-точка А, не принадлежащая а.

Покажем, что через точку А проходит, по крайне мере, две Л-прямые, не пересекающие а.

1 случай

2 случай

Построим евклидову полуокружность, ортогональную f и проходящую через точки P и A. Л-прямая p проходит через точку А и не пересекает а.

Аналогично строим Л-прямую q, проходящую через точку А и не пересекающую а.

Итак, существуют две Л-прямые p и q, проходящие через Л-точку А и не пересекающие Л-прямую а.

Замечание. Очевидно, что любая евклидова полуокружность, ортогональная f и проходящая через точку А и любую точку евклидова отрезка QR, не пересекает а. Таким образом, существует бесчисленное множество Л-прямых, проходящих через точку А и не пересекающих Л-прямую а.

Итак, доказана непротиворечивость геометрии Лобачевского.

В следующем параграфе покажем осуществление некоторых вопросов геометрии Лобачевского на модели Пуанкаре, где также используется инверсия.