Лабораторная работа 3.

 

RLC - КОНТУР

Цель работы: изучение электромагнитных колебаний в последовательном RLC - контуре; исследование затухающих колебаний; снятие резонансных кривых; определение добротности полосы пропускания, резонансной частоты и декремента затухания; сравнение теоретических и экспериментальных кривых.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Рис.4.1

 

Конденсатор C, катушка индуктивности L и активное сопротивление R, соединенные последовательно, образуют колебательный RLC - контур. Электрические колебания в контуре возбуждаются в результате периодического обмена между энергией электрического поля конденсатора  и энергией магнитного поля катушки индуктивности , где q и C - заряд и емкость конденсатора,  - ток в контуре, L - индуктивность катушки. В результате протекания тока в контуре на активном сопротивлении R выделяется тепловая энергия, приводящая к потере энергии электрических колебаний. Заряд, сосредоточенный на обкладках конденсатора в начальный момент времени t₀=0, уменьшается с течением времени и создает ток в контуре, изменяющийся во времени. Величину тока, протекающего в цепи при разряде, можно определить из закона Ома для неоднородного участка контура:

 

 (4.1)

 

Сила тока равна скорости изменения заряда, так что (4.1) эквивалентно дифференциальному уравнению второго порядка

 

, (4.2)

 

где введены обозначения: ,

Решение уравнения (4.2) представим в виде линейной комбинации

 

, (4.3)

 

l₁, l₂ - корни характеристического уравнения .

Из приведенной зависимости следует, что при выполнении неравенства , заряд быстро затухает во времени и колебания в контуре отсутствуют. Такой процесс называется апериодическим. Колебания в контуре существуют только при выполнении условия . Применяя формулу Эйлера для комплексных величин, заменим выражение (4.3) на сумму гармонических функций:

 

 (4.4)

 

где ,  - собственная частота затухающих колебаний в контуре. Заряд q принимает только вещественное значение, так что величины A и B могут быть только сопряженными комплексными числами. Результирующую зависимость заряда от времени t можно определить в виде:

 

, (4.5)

 

где q₀ и j - произвольные постоянные, имеющие смысл амплитуды колебаний в момент времени t=0, j - начальная фаза.

Отношение  характеризует быстроту уменьшения амплитуды колебаний и называется коэффициентом затухания. При b=0 уравнение (4.2) описывает незатухающие колебания в контуре, причем  определяет частоту собственных колебаний. Графики зависимости заряда от времени при различных значениях коэффициента затухания, представлены на рис.4.2

 

 

а) ,       б) ,       в)

Рис.4.2

 

В соответствии с видом функции (4.5), изменение заряда во времени можно рассматривать как гармоническое колебание частоты w₁ с амплитудой, изменяющейся по закону . Отношение амплитуд в моменты времени, отличающиеся друг от друга на величину периода T, называется декрементом затухания, а его логарифм - логарифмическим декрементом затухания и обозначается символом l:

 

 (4.6)

 

Логарифмический декремент затухания характеризует колебательную систему и имеет определенный физический смысл. За время t, в течение которого амплитуды a ( t) уменьшается в e раз, система совершает  колебаний. Из условия  следует, что , так что логарифмический декремент затухания обратно пропорционален числу колебаний, совершаемых за время, в течение которого амплитуда уменьшается в e раз.

Для характеристики колебательной системы часто используют величину

 

, (4.7)

 

которую называют добротностью колебательной системы.

Периодическая во времени внешняя э. д. с., включенная в последовательный контур, создает в нем вынужденные колебания.

Суммируя напряжение с э.д.с. самоиндукции, получаем из (4.1) уравнение для определения заряда:

 (4.8)

 

Общее решение уравнения (4.8) равно сумме общего решения однородного уравнения при e₀=0 и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения определяется формулой (4.5) и затухает с ростом времени. Частное решение уравнения (4.8) найдем методом комплексных амплитуд. В соответствии с данным методом, представим уравнение в виде реальной части комплексного уравнения

 

, (4.9)

 

решение которого имеет вид:

 

, (4.10)

где .

 

Производная по времени от реальной части Y позволяет получить гармоническую зависимость тока в цепи от времени t:

 

, (4.11)

где , ,  (4.12)

 

Из последних уравнений следует, что ток отстает по фазе от приложенной внешней э. д. с. на угол j, причем амплитуда тока достигает максимального значения  при условии равенства частоты собственных колебаний в контуре w₀ частоте внешней э. д. с. В этом случае ток колеблется в фазе с приложенной э. д. с. Указанное условие называется резонансом напряжений. Резонансные кривые зависимости амплитуды тока от частоты внешней э. д. с. представлены на рис.4.3а и характеризуются полосой пропускания контура  при токе . Связь между добротностью Q и полосой пропускания D w устанавливается соотношением:

 

 (4.13)

 

Из уравнения (4.13) и графиков зависимости амплитуды тока от частоты следует, что с ростом сопротивления контура (активного R) добротность колебательной системы уменьшается. Рис.4.3б иллюстрирует зависимость тангенса угла j от частоты.

 

а)                                                б)

Рис.4.3

Методика эксперимента

 

Рис.4.4

 

Экспериментальная установка содержит последовательный RLC - контур, изменение элементов которого осуществляется переключателями П1 и П2. Режим работы задается переключателем П3: в положении "ПЕР" - исследуются периодические затухающие и незатухающие колебания; в положении "АПЕР" - апериодический процесс. Подключение внешних источников э. д. с. - генератора синусоидальных колебаний Г1 и генератора импульсов Г2 осуществляется кабелями через разъемы, расположенные на передней панели блока. Возможно использование одного генератора с двумя каналами выхода синусоидальных и импульсных колебаний.

В качестве регистрирующего прибора используется осциллограф, подключенный кабелем к разъему "ОСЦ" на передней панели блока. Градуировка вертикальной развертки осциллографа осуществляется с учетом активного сопротивления нагрузки на его входе , i=1,2,3. Калибровочное напряжение с соответствующего выхода осциллографа U_k или от внешнего генератора Г1 подается на вход и определяется масштаб вертикальной оси, равной отношению амплитуды сигнала к числу делений U_k/ Y_k (В/дел). Пересчет этого масштаба в величину отношения тока i₀ в цепи к числу делений y сигнала (А/дел) осуществляется по формуле:

 (4.14)

 

Калибровка горизонтальной оси времени осуществляется аналогичным образом: импульс определенной длительности t с выхода генератора Г2 подается на вход осциллографа, регулировкой длительности развертки находится стабильная картина, определяется длительность импульса в делениях масштабной сетки x_k и по ней определяется масштаб горизонтальной развертки:

 

 (4.15)

 

В отдельных моделях осциллографов соответствующие масштабы указаны на делителях вертикального и горизонтального отклонения, так что операции калибровки осей не производятся. Суммарное активное сопротивление контура зависит от положения переключателя П2:

 

 (4.16)

 

Из формулы (4.12) следует, что при резонансе для двух значений активных сопротивлений контура выполняется закон Ома:

 

 

из которого получает формулу для расчета активного сопротивления индуктивности:

,  (4.17)