IX . Линейные пространства

 

9.1. Матрицей перехода от базиса  к базису , где   является…

 

…

 

 

9.2. Матрица перехода от одного базиса к другому всегда является…

 

…невырожденной.

 

 

9.3. В линейном пространстве векторов, параллельных данной плоскости, базисом являются …

 

… любые два неколлинеарных вектора, параллельных данной плоскости.

 

 

9.4. Все функции, определенные на всей числовой прямой и удовлетворяющие условию , …

 

…образуют линейное пространство, если , а операции суммы и умножения на число определены стандартным способом.

 

9.5. Вектор …

 

… невозможно представить в виде линейной комбинации векторов  и .

 

9.6. Матрицы вида   (операции сложения и умножения на число определены стандартным образом)…

 

…образуют линейное пространство размерности 1.

 

9.7. Матрицы вида   (операции сложения и умножения на число определены стандартным образом)…

 

…не образуют линейного пространства.

9.8. Матрицы вида , где числа , ,  и  удовлетворяют условиям , , а операции сложения и умножения на число определены стандартным образом, …

 

…образуют линейное пространство размерности 2.

 

9.9. Векторы , , …

 

… являются линейно-зависимыми.

 

9.10. Разложение вектора  по базису , ,  имеет вид , где…

 

… .

 

9.11. Функции , ,   будут линейно зависимыми при…

 

… .

 

9.12. Функции , ,   будут линейно-независимыми при…

 

…любом значении .

 

9.13. Базисом линейного пространства решений однородной системы   является…

 

… вектор  .

 

9.14. Векторы ,  и

 

…являются линейно-независимыми.

 

9.15. Проверьте, что множество функций вида  (квадратные трехчлены) таких, что , образует линейное пространство. Базисом в этом пространстве является…

… , .

9.16. Базисом линейного пространства решений однородной системы   является…

 

… векторы , , .

 

 

9.17. Матрица линейного оператора, переводящего любой вектор  в вектор , записанная в стандартном базисе , , , имеет вид…

 

… .

 

9.18. Матрица дифференцирования многочленов не выше второго порядка в базисе  имеет вид…

 

… .

 

9.19. Матрица линейного оператора, отображающего все геометрические векторы пространства в векторы, параллельные некоторой плоскости, является…

 

…вырожденной.

9.20. Известно, что линейный оператор переводит вектор  в вектор , а вектор  — в вектор . Матрица этого оператора, записанная в базисе , , имеет вид…

 

… .

9.21. Матрица оператора симметрии относительно плоскости  , записанная в базисе , , , имеет вид…

 

… .

 

9.22. Матрица оператора ортогонального проектирования на плоскость , записанная в базисе , , , имеет вид…

 

… .

 

9.23. Матрица некоторого оператора, записанная в базисе , , имеет вид . Этот оператор является…

 

…оператором симметрии относительно оси .

 

9.24. Множество всех матриц размера , для которых операции сложения и умножения на число определены стандартным образом, …

 

…является линейным пространством размерности 4.

 

9.25. Линейной комбинацией векторов  и  является вектор…

 

… .

 

9.26. Известно, что линейный оператор переводит вектор  в вектор , а вектор  — в вектор . Тогда вектор  переходит в вектор…

 

… .

 

9.27. Известно, что линейный оператор  переводит вектор  в вектор , а вектор  — в вектор . Тогда вектор  переходит в вектор…

 

… .

 

9.28. Размерность линейного пространства симметричных матриц …

 

…равна 6.