I V -а. Векторная алгебра

I V . Векторная алге бра

4.1. Найдите расстояние между точками  и .          #

 

3

 

4.2. Найдите координаты середины отрезка , где , .

 

 

4.3. Найдите направляющие косинусы вектора .

 

.

4.4. Найдите углы наклона вектора  к осям координат.

.

4.5. Найдите скалярное произведение векторов  и , если известно, что , , а скалярное произведение .

 

15

 

4.6. В каком случае скалярное произведение двух векторов отрицательно?

 

Если угол между ними тупой.

 

4.7. Может ли скалярное произведение быть больше произведения длин векторов-сомножителей?

 

Нет, не может.

 

4.8. Найдите косинус угла между векторами  и .

 

4.9. Найдите проекцию вектора  на направление вектора .

 

–1

 

4.10. При каком значении  векторы  и  ортогональны?

 

При .

 

4.11. При каких значениях  и  векторы  и  будут коллинеарными?

 

При .

4.12. Выясните, является тройка ,  и  правой или левой.

 

Правой.

 

4.13. Найдите длину векторного произведения , если ,  и их скалярное произведение равно

 

6

 

4.14. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

 

 

4.15. При каком  векторы , ,  будут компланарными.

 

При .

 

4.16. Найдите смешанное произведение  векторов , , .

 

1

 

4.17. Найдите объем треугольной пирамиды, построенной на векторах , , .

 

1

 

4.18. Найдите вектор, перпендикулярный векторам  и , составляющий тупой угол с осью ординат и такой, что его длина равна .

#

4.19. Найдите координаты вектора , где , .

#

4.20. При каком  векторы  и  перпендикулярны?

 

При .

 

4.21. Вычислите векторное произведение , если  и .

 

.

 

4.22. Даны векторы ,  и . Вычислите скалярное произведение .

 

 

4.23. Какой из приведенных ниже векторов ортогонален векторам  и ?

 

.

 

4.24. Вычислите углы треугольника  с вершинами ,  и .

 

, , .

 

4.25. Упростите векторное произведение .

 

 

4.26. Вектор , удовлетворяющий уравнению , равен…

… .

 

4.27. Вектор , удовлетворяющий уравнению , равен…

 

… .

 

4.28. Длина векторного произведения векторов  и  равна…

 

…3.

 

I V -а. Векторная алгебра

 

4-а.1. Скалярное произведение векторов равно произведению длин векторов-сомножителей, если …

# … угол между векторами равен нулю.

 

4-а.2. Векторы  и  перпендикулярны тогда и только тогда, когда …

 

# … длины векторов  и  равны.

 

4-а.3. Пусть  и . Скалярное произведение . Тогда …

 

# … .

 

4-а.4. Даны точки  и . Тогда координаты вектора  составляют …

 

# …

 

4-а.5. Направляющие косинусы вектора  равны …

 

# … .

4-а.6. Известно, что , , а скалярное произведение . Тогда скалярное произведение векторов  и  равно …

# … 3.

 

4-а.7. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, если …

 

# … если векторы взаимно перпендикулярны.

 

 

4-а.8. Косинус угла между векторами  и  равен …

# … .

4-а.9. Проекция вектора  на направление вектора  равна …

 

# … 8.

 

4-а-.10. Пусть  и . Тогда вектор  имеет координаты …

 

# … .

 

4-а.11. Векторное произведение  — это …

 

# … вектор, перпендикулярный векторам и .

 

4-а.12. В результате упрощения векторного произведения  получим

# … .

4-а.13. Векторы ,  будут коллинеарны …

 

# … ни при каком .

 

4-а.14. При перестановке сомножителей в векторном произведении …

 

# … оно меняет знак.

 

4-а.15. Площадь треугольника  равна 3. Тогда длина векторного произведения  равна …

 

# … 6.

4-а.16. Пусть , , их скалярное произведение . Тогда длина векторного произведения  равна …

 

# … 48.

 

4-а.17. Векторы  и  ортогональны при …

# … .

4-а.18. Смешанное произведение  трех взаимно перпендикулярных векторов …

 

# … равно произведению длин векторов-сомножителей, если тройка  является левой.

 

4-а.19. Объем параллелепипеда, построенного на векторах , , , равен …

 

# … 6.

 

4-а.20. Даны векторы ,  и . Тогда векторное произведение  равно                 # … .

-а.21. Длина векторного произведения векторов  и  равна …

# … .

4-а.22. Смешанное произведение векторов ,  и  равно …

 

# … 39.

 

4-а.23. Вектор , удовлетворяющий уравнению , равен…

 

# … .

4-а.24. Векторы  и  перпендикулярны …

 

# … при .

 

4-а.25. Пусть скалярное произведение , угол между векторами  и  равен . Тогда скалярный квадрат векторного произведения этих векторов

(т.е. ) равен …

 

# …3.

 

V. Плоскость

 

5.1. Найдите, при каком значении  плоскость  будет перпендикулярна плоскости .

 

При .

 

5.2. Найдите, при каких  и  плоскости  и  параллельны?

 

При .

 

5.3. Найдите угол между плоскостью  и координатной плоскостью .

 

 

5.4. Найдите расстояние от точки  до плоскости .

 

 

5.5. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

 

 

5.6. Найдите плоскость, проходящую через точку  и прямую пересечения плоскостей  и .

 

 

5.7. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку  параллельно плоскости .

 

.

.

 

5.8. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку  перпендикулярно прямой , где  и .

 

.

5.9. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки ,  и .

 

.

 

5.10. Найдите угол между плоскостями  и .

 

 

5.11. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку , если нормальный вектор этой плоскости .

 

.

 

5.12. Плоскость …

 

… параллельна оси .

 

5.13. Плоскость  проходит через ось , если…

 

… .

Эта плоскость не может проходить через ось .

 

5.14. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую  параллельно вектору .

 

.

 

5.15. При каких  и  прямая  лежит в плоскости ?

.

 

5.16. Составьте уравнение плоскостей, делящих пополам двугранные углы, образованные плоскостями  и .

 

 и .

 

5.17. Найдите расстояние между плоскостями  и .

 

 

5.18. Найдите объем пирамиды, образованной координатными плоскостями и плоскостью .

 

 

5.19. Найдите нормальный вектор плоскости, проходящей через начало координат и точки  и .

 

.

 

5.20. Определите, как расположены точки  и  относительно плоскости .

 

По разные стороны от плоскости, причем точка  по ту же сторону, что и начало координат.

 

5.21. Составьте уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка  перпендикулярно , если , .

 

.

 

5.22. Установить, при каком значении  плоскость  будет параллельна плоскости ?

 

Ни при каком.

5.23. Найдите расстояние от начала координат до плоскости .

 

 

5.24. Составьте уравнение плоскости, проходящей через начало координат параллельно векторам  и .

 

.

 

5.25. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки ,  параллельно вектору .

 

.

 

5.26. При каком значении  точки , ,  и  принадлежат одной плоскости?

 

При .

 

V-а. Плоскость

 

5-а.1. Плоскость  будет перпендикулярна плоскости  при …

 

# … .

5-а.2. Плоскости  и  параллельны при …

 

# … .

 

5-а.3. Расстояние от точки  до плоскости  равно…

 

# … .

 

5-а.4. Уравнение плоскости, проходящей через точки , , , имеет вид …

 

# … .

 

5-а.5. Уравнение плоскости, проходящей через точку  параллельно плоскости , имеет вид …

 

# … .

 

5-а.6. Угол между плоскостями  и  равен …

 

# … .

 

5-а.7. Уравнение плоскости с нормальным вектором , проходящей через точку , имеет вид …

 

# … .

 

5-а.8. Плоскость  проходит через ось , если…

 

# …  и .

 

5-а.9. Уравнение плоскости, проходящей через прямую  параллельно вектору , имеет вид …

 

# … .

 

5-а.10. Расстояние между плоскостями   и   равно …

 

# … .

 

5-а.11. Объем пирамиды, образованной координатными плоскостями и плоскостью , равен …

# … .

 

5-а.12. Точки  и  расположены относительно плоскости  …

 

# … по одну сторону, противоположную стороне, где лежит начало координат.

 

5-а.13. Уравнение плоскости, проходящей через начало координат параллельно векторам  и , имеет вид …

 

# … .

 

5-а.14. Уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка , где , , перпендикулярно этому отрезку, имеет вид …

 

# … .

 

5-а.15. Уравнение плоскости, проходящей через точку  перпендикулярно вектору , имеет вид…

 

# … .