Критерий устойчивости Гурвица, полиномы Гурвица

Во всех задачах исследования цепи на устойчивость необходимо решить, имеет ли характеристическое уравнение знаменателя ОПФ проектируемой цепи корни, расположенные в правой полуплоскости.

Методы, с помощью которых можно судить об устойчивости цепи, не прибегая к вычислению корней характеристического уравнения знаменателя, называют критериями устойчивости.

В настоящее время известен ряд критериев устойчивости, среди которых чаще всего используются критерии устойчивости, предложенные А. Гурвицем (1895), А. В. Михайловым (1938) и Г. Найквистом (1932). Не все они одинаково удобны и универсальны, в каждом частном случае один из них может оказаться предпочтительным.

Один из первых критериев устойчивости был найден немецким математиком А. Гурвицем и опубликован им в 1895 году. Он определил условия, которым должны удовлетворять специально составленные соотношения между коэффициентами алгебраического уравнения с тем, чтобы все корни последнего имели отрицательные вещественные части или, иными словами, были расположены в левой полуплоскости.

Формулировка критерия устойчивости Гурвица: (в алгебре критерий Рауса-Гурвица) цепь будет устойчивой, если определитель:

,

составленный из коэффициентов полинома знаменателя ОПФ:

и все его главные миноры ; ;  принимают положительные значения.

Этот критерий приводится без доказательства. Определитель принято называть определителем Гурвица. Он составляется по следующему простому правилу. На главной его диагонали выписываются коэффициенты в том порядке, в котором они расположены в уравнении, начиная с коэффициента . В каждом из столбцов под диагональным элементом выписываются коэффициенты с убывающими, а над ним – с возрастающими индексами. Все коэффициенты, индексы которых превышают  или отрицательны, заменяются нулями. При этом следует учесть, что .

Пример. Пусть дан полином четвертой степени:

.

Ему соответствует определитель Гурвица:

.

Главные миноры этого определителя:

; ; ; .

Определитель и все его миноры положительны. Следовательно, все корни рассматриваемого уравнения  лежат в левой полуплоскости. Действительно, легко убедиться подстановкой, что значения корней уравнения таковы:

; ; .

Полиномы с вещественными коэффициентами, нули которых расположены в левой полуплоскости, принято в ТЭЦ называть полиномами Гурвица или устойчивыми полиномами. В дальнейшем их будем обозначать J(p). Можно показать, что положительность коэффициентов полинома и неравенство их нулю есть необходимое, но недостаточное условие принадлежности его к классу полиномов Гурвица.

Так полиномы и  не могут быть J(p) поскольку в первом есть отрицательный коэффициент (‑1), а во втором коэффициент при равен нулю.

В дальнейшем ОПФ пассивных цепей будем записывать в виде:

.

Связь между ОПФ и КПФ

КПФ образуется из ОПФ путем замены оператора  на оператор , т.е. .

.

Если степень, в которую возводится оператор  четная, то: , если же она нечетная, то .

Отсюда следует вывод, что вещественные части полиномов представляют собой четные функции частоты, а мнимые – нечетные, т. е. можно в общем виде записать:

,

где  – четные полиномы частоты .

Возьмем модуль и аргумент и в результате получим:

.

Откуда:

АЧХ: ;

ФЧХ: .

По этим выражениям можно построить графики.

Литература

1. Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1986. (Учебник);

2. Бакалов В. П. и др. Теория электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1998.

3. Качанов Н. С. и др. Линейные радиотехнические устройства. М.: Воен. издат., 1974. (Учебник);

4. Попов В. П. Основы теории цепей – М.: Высшая школа, 2000.(Учебник)