Операторная передаточная функция

Отношение -изображения реакции к -изображению воздействия при нулевых начальных условиях называется операторной передаточной функцией (ОПФ). Обозначается .

В общем случае  может быть безразмерной величиной или иметь размерность сопротивления или проводимости. Число ОПФ для конкретной цепи равно числу реакций.

Пусть в цепи действует один источник , а реакцией  является одно из узловых напряжений или один из контурных токов.

Тогда:

.

Можно показать, что после раскрытия определителя  и его минора , ОПФ будет иметь вид:

где  и  – вещественные числа, т. е. ОПФ электрической цепи представляет собой рациональную функцию с вещественными коэффициентами, причем степень числителя не может превышать степень знаменателя.

ОПФ не зависит от воздействия, а определяется только элементами схемы и порядком их соединения. Если известна ОПФ, то реакция находится как:

.

Пример: определить одну из ОПФ для последовательного контура, показанного на рис. 1.

Рис. 1

В данной схеме будет четыре ОПФ.

Найдем .

; ; .

Аналогичным образом находятся , , .

3. Устойчивые и неустойчивые электрические цепи. Критерий устойчивости Гурвица, полиномы Гурвица

Линейную электрическую цепь принято определять как устойчивую, если в ней не возникают неограниченно возрастающие свободные колебания. В противном случае ее определяют как неустойчивую. Такая трактовка следует из классических работ по теории устойчивости, выполненных русским математиком А. М. Ляпуновым (1857— 1918 гг.).

Большинство современных ЛРТУ являются активными, т. е. в схемах замещения содержат зависимые источники. Любая пассивная электрическая цепь является устойчивой. Если же она активна, то вопрос об ее устойчивости остается открытым: активная цепь может быть как устойчивой, так и неустойчивой.

При рассмотрении предыдущего вопроса было показано, что реакция находится из соотношения:

.

Пусть  представляет собой -функцию, -изображение которой равно единице.

Тогда:

,

где  и  рациональные функции с вещественными коэффициентами.

Для нахождения оригинала такая функция может быть единственным образом разложена на сумму простых дробей вида:

.

Здесь  являются корнями полинома .

Посредством указанного разложения по таблице соответствий находится выражение для .

При этом .

Заметим, что среди корней полинома  могут быть как вещественные так и комплексные сопряженные. В случае вещественных корней функция  будет убывающей, если .

Если же  то слагаемые можно записать как:

.

Полученная функция является гармонической с амплитудной .

Последняя будет убывающей при .

Следовательно, система устойчива, если действительные (вещественные) части корней знаменателя характеристического уравнения отрицательны. (Фундаментальное положение, вытекающее из общей теории устойчивости А. М. Ляпунова, обоснованной в 90‑х годах прошлого века).

Для наглядного суждения о характере и значениях корней удобно изображать их точками на комплексной плоскости. Так, например, на рисунке 2 показано расположение на комплексной плоскости корней некоторого полинома знаменателя пятой степени.

Здесь корнями являются: вещественен и отрицателен, ;  комплексны, сопряжены попарно и имеют отрицательные вещественные части. Очевидно, что в данном случае цепь будет устойчивой.

Наличие у характеристического уравнения корней с положительными вещественными частями приводит к тому, что любое случайное воздействие, каким бы оно не было малым, вызывает нарастающие по амплитуде свободные колебания. Значения амплитуды колебаний ограничиваются нелинейными свойствами усилительных приборов. Внешне рассматриваемая цепь без каких-либо видимых воздействий "сама" переходит в режим установившихся колебаний или, как говорят, "самовозбуждается".

Электрические цепи, у которых свободные колебания, пока они малы, возрастают по времени, причем предел их возрастания определяется нелинейными свойствами элементов цепи, называют неустойчивыми.

Характеристическое уравнение знаменателя ОПФ любой неустойчивой цепи должно иметь корни, расположенные в правой части комплексной плоскости. Одной из важнейших задач, возникающих при проектировании самых разнообразных цепей с зависимыми источниками, является задача исследования проектируемой цепи на устойчивость.