Определение операторных реакций в сложных цепях

Лекция

Операторные передаточные функции и их свойства

Орел 2009

Учебные и воспитательные цели:

Разъяснить слушателям сущность операторных передаточных функций, устойчивых и неустойчивых электрических цепей, критерий устойчивости Гурвица, а также связь ОПФ с комплексной передаточной функцией.

Распределение времени лекции

Вступление………………………………………………………….5 мин.

Учебные вопросы:

1. Определение операторных реакций в сложных цепях………..15 мин.

2. Операторная передаточная функция……………………………20 мин.

3. Устойчивые и неустойчивые электрические цепи.

Критерий устойчивости Гурвица, полиномы Гурвица………….35 мин.

4. Связь между ОПФ и КПФ……………………………………….10 мин.

Заключение…………………………………………………………5 мин.

Определение операторных реакций в сложных цепях

В общем случае -изображение искомого колебания находится путем составления и решения системы уравнений в операторной форме в 3 этапа. Они могут быть составлены непосредственно по схеме цепи с использованием ранее изученных методов расчета, среди которых наибольшее распространение получили МУН и МКТ. В случае ненулевых начальных условий реактивные элементы должны быть отображены схемами замещения.

1 этап: система уравнений составленная по МУН для цепи имеющей N потенциальных узлов будет иметь вид:

.

Здесь – сть сумма операторных проводимостей, подключенных к данному узлу, а  – проводимость, связывающая этот узел с соседним "i"-м узлом.

В правые части входят -изображения задающих токов, подключенных к "k"-му узлу.

Решая задачу по МКТ, следует, прежде всего, выбрать совокупность независимых контуров и, руководствуясь ранее полученным правилом, составить систему контурных уравнений.

В этой системе  будет представлять собой сумму сопротивлений входящих в "k"-й контур, а  есть сумма сопротивлений, которые одновременно входят в "k"-й и "i"-й контуры.

Знаки слагаемых этой суммы определяются установленными ранее правилами. В правые части уравнений входят операторные источники ЭДС.

Второй этап: нахождение ‑изображения реакции (операторного напряжения или операторного тока).

Если цепь содержит только один воздействующий источник (обозначим его ), то искомую реакцию  можно найти по формуле:

,

где  – минор определителя , относительно i‑й строки и k‑го столбца.

Важно отметить, что определитель  и любые его миноры представляют собой рациональные функции (иначе, алгебраические дроби) оператора , все коэффициенты которых являются вещественными числами.

Третий этап: применение обратного преобразования Лапласа, в результате чего находится . Такие действия производятся на основе формулы обращения Римана-Меллина и являются достаточно сложными. Однако в частных случаях, имеющих большое прикладное значение, те же результаты могут быть получены более элементарным путем, а именно:

– использование таблиц соответствия;

– разложение  на простые дроби или в ряд с последующим использованием таблиц соответствия.