Точный расчёт переходной функции.

Дана передаточная функция откорректированной разомкнутой системы в виде

.

Необходимо найти переходную функцию A(t) для замкнутой системы на её выходе при нулевых начальных условиях.

Решение.

Передаточная функция замкнутой системы:

Изображение переходной функции по Лапласу:

Характеристическое уравнение.

H(p) = p(0,0025p³ + 0,176p² + 2,57p + 23,5) = 0 .

Находим его корни:

p₁=-54.76; p₂= -7,81-10,51j; p₃= -7,81+10,51j; p₄=0.

Перейдём к оригиналу, используя теорему разложения:

где p₁...p_k...p_n – корни характеристического уравнения.

H¢(p_k) = 0,01р³+0,528р²+5,14р+23,5;

H¢( p₁) = -316,832;

H¢( p₂) = -21,62+25,102j;

H¢( p₃) = -21,62-25,102j;

H¢( p₄) =23,5;

Поскольку корни p₂ и p₃ являются комплексно-сопряжёнными, то полученные выше 2 выражения следует преобразовать в одно, используя формулу Эйлера:

В итоге получаем переходную функцию в следующем виде:

Определение качественных показателей работы системы.

На рисунке 4 (кривая 1) дана картина переходного процесса, которая получена в результате расчёта переходной функции. Для определения качественных показателей работы системы на этом рисунке обозначается зона, которая ограничена осями координат и заштрихованными отрезками прямых. Два отрезка проводятся симметрично относительно установившегося значения A_у переходной функции на расстоянии 2d_p. Расстояние d_p =0,05 определяет точность работы системы в переходном режиме, а, следовательно, - точность расчёта времени t_п переходного процесса. Один из заштрихованных отрезков пересекает кривую переходной функции в точке, абсцисса которой соответствует времени t_п переходного процесса. Верхняя горизонтальная прямая ограничивает максимальное отклонение переходной функции от её установившегося значения.

Если колебательная составляющая, определяемая парой комплексно-сопряжённых корней, затухает быстрее экспоненциальной составляющей, определяемой вещественными корнями, то данный колебательный процесс является монотонным. В монотонных процессах перерегулирование отсутствует.

Показатели качества системы:

· система статическая;

· статическая ошибка d = 0,05h_¥=0.0475;

· точность работы системы d_p = 0,05;

· время переходного процесса t_п = 0,43с;

· установившееся значение переходной функции A_у = 0,957.

Список использованной литературы.

1. Ковылов Б.В. «Расчёт переходного процесса в системе автоматического регулирования». Методические указания. УГЛТУ, Свердловск, 1982.

2. Бесекерский В.А. Сборник задач по теории автоматического регулирования. М., 1965.

3. Лукас В.А. «Теория автоматического управления». М., 1990.

4. Воронов А.А., Титов В.К., Новогранов Б.Н. «Теория автоматического регулирования и управления». М., 1977.