Построение логарифмической фазовой частотной характеристики.

Логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ) – зависимость разности фаз выходного и входного сигналов от логарифма частоты.

Фазовая частотная характеристика разомкнутой системы j(w) при последовательном соединении звеньев равна алгебраической сумме фазовых характеристик звеньев, входящих в это соединение.

Строится логарифмическая фазовая частотная характеристика разомкнутой системы по точкам в прямоугольной системе координат. По вертикальной оси откладывается значение j(w) в градусах, а по горизонтальной – значение логарифмов частоты. Интервалы частот берутся те же, что и при построении L(w).

Таблица 2.

По данным столбцов 1 и 9 строится график j(w)=j(lgw).

Определение устойчивости и её запасов в нескорректированной системе.

На рисунке 1 показано взаимное расположение ЛАЧХ разомкнутой системы и ЛФЧХ.

Из рисунка 1 видно, что

DL=6 дБ – запас устойчивости по модулю;

Dj=180°-199°=-19° - запас устойчивости по фазе.

Взаимное расположение L(w) и j(w) соответствует неустойчивой системе в замкнутом состоянии, так как углу -180° соответствует положительное значение L(w).

Так как запасы устойчивости по модулю и фазе не удовлетворяют условиям задания, то необходима коррекция системы.

Коррекция системы.

При решении задач коррекции системы необходимо сформировать логарифмическую амплитудную и фазовую характеристики L_ж(w) и j_ж(w). Желаемую логарифмическую амплитудную частотную характеристику разомкнутой системы будем называть просто желаемой характеристикой системы.

Желаемая характеристика должна пересекать ось абсцисс при частоте w_с и должна иметь в этой области наклон -20дБ/дек. Длина асимптоты с этим наклоном должна быть не менее одной декады.

Желательно, чтобы изменение наклона L_ж при частотах, больших частоты среза w_с, происходило при тех же частотах, что и у исходной характеристики L(w). Частота w_с среза желаемой характеристики L_ж выбирается по заданным значениям максимального перерегулирования s_m и времени t_п переходного процесса.

Исходные данные:

s_m = 30%,

w_с= , с^-1,

DL=16 дБ,

Dj=45°,

P_max=1,28.

В этих данных указывается также запас DL устойчивости по модулю, дБ и запас Dj устойчивости по фазе в градусах, которые должны обеспечивать желаемые характеристики L_ж и j_ж.

Согласно исходным данным, w_с= с^-1. Поскольку при частоте среза w_с=11,5 с^-1 не выполняются необходимые условия запасов по модулю и фазе, сдвигаем частоту среза до 0,95 дек (w_с=8,91 с^-1).

Через точку w_с проводим прямую с наклоном -20дБ/дек, которая пересечёт горизонталь в точке с абсциссой w₀ и перпендикуляр, восстановленный в точке с абсциссой w₁.

Согласно построению w₀=0,398 с^-1, >10. Это соотношение говорит о том, что участок с наклоном -20дБ/дек простирается более, чем на 1,35 декады, что по сравнению с нормой в одну декаду вполне допустимо.

Таким образом, вид желаемой характеристики L_ж при w < w₁ найден.

Так как на участке w₃…w₁ разность наклонов L_ж(w) и L(w) составляет +20 децибел на декаду, то, сохраняя разность неизменной, проведём L_ж(w) на участке w₁…w₄ с наклоном минус 40 децибел на декаду, на w₃…w₄ - с наклоном минус 60 дБ/дек. Начиная с частоты w₅ желаемая характеристика будет совпадать с L(w).

Определим логарифмическую амплитудную частотную характеристику L_K(w) корректирующего звена путём графического решения уравнения

L_K(w)=L_ж(w) - L(w) .

Это решение, выполненное на рисунке 1, даёт форму L_K(w), соответствующую типовому интегро-дифференцирующему звену.

Запишем желаемую передаточную функцию разомкнутой системы в виде:

где

.

Передаточная функция корректирующего звена равна

.

Проверим, имеет ли желаемая характеристика требуемые запасы устойчивости по модулю и по фазе.

Желаемая фазовая характеристика имеет вид:

Определим j_ж(w) при w=w_с= с^-1:

Запас устойчивости по фазе:

Dj_ж=180° + j_ж(2,51)=180° - 121,42°=58.27°

больше 45° по норме.

Для определения запаса устойчивости по модулю необходимо найти частоту w_x, при которой j_ж(w_x)=-180°, т.е. решить уравнение:

Решение этого уравнения методом последовательных приближений даёт w_x=32 с^-1, при которой запас DL=15.4 дБ, незначительно отличается от запаса, указанного в задании, и может быть признан приемлемым.

Для большей наглядности построим желаемую ЛФЧХ j_ж( )